条件概率

前言

条件概率是概率计算中的一类比较容易出错的题目。

条件概率

• 概念：一般的，设\(A\)，\(B\)为两个事件，且\(P(A)>0\)，则称\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}\)为在事件\(A\)发生的条件下，事件\(B\)发生的条件概率。

• 性质：

①\(0\leq P(B|A)\leq 1\)；

②若\(B\)，\(C\)为两个互斥事件，则\(P(B\cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)\)；

注意事项

• \(P(B|A)\)和\(P(A|B)\)是两个不同的条件概率。

• 一般情况下，条件概率的计算只能按照条件概率的定义套用公式进行，在计算时要注意搞清楚问题的事件含义，特别注意在事件\(A\)包含事件\(B\)时，\(AB=B\)。

• 对于古典概型的条件概率，计算方法有两种：其一可采用缩减基本事件空间的办法计算\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}\)；其二可直接利用定义计算\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}\)；

典例剖析

【2017长沙二模】一个不透明的袋子装又4个完全相同的小球，球上分别标有数字0、1、2、2，现甲从中摸出1个球记下球上的数字后放回，乙再从中摸出1个球，若谁摸出的球上的数字大则获胜(若数字相同则为平局)，则在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的概率为 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{5}{16}$ $B.\cfrac{9}{16}$ $C.\cfrac{1}{5}$ $D.\cfrac{2}{5}$

法1分析：使用古典概型求解，由于甲获胜的所有情形为\((2，1)\)，\((2，1)\)，\((2，0)\)，\((2，0)\)，\((1，0)\)，共有5种，

其中在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1的情形为\((2，1)\)，\((2，1)\)，有2种，

令“在甲获胜的条件下，乙摸出的球上的数字为1”为事件\(A\)，则\(P(A)=\cfrac{2}{5}\)，故选\(D\)。

法2分析：使用条件概率求解，令“甲获胜”为事件\(A\)，“乙摸出的球上的数字为1”为事件\(B\)，则所求为\(P(B|A)\)；

由于甲、乙都从4个球中分别取出1个球，故所有情形有\(4\times 4=16\)种，则甲获胜的情形有\((2，1)\)，\((2，1)\)，\((2，0)\)，\((2，0)\)，\((1，0)\)，共有5种，故\(P(A)=\cfrac{5}{16}\)，

而事件\(AB\)即“甲获胜且乙摸出的球上的数字为1”的情形有\((2，1)\)，\((2，1)\)，有2种，即\(P(AB)=\cfrac{2}{16}\)，

由条件概率的计算公式可得，\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{2}{16}}{\frac{5}{16}}=\cfrac{2}{5}\)。

解后反思：①古典概型求解改题目，其实就是压缩了样本空间；

一个箱子中有9张标有1，2，3，4，5，6，7，8，9的卡片，从中依次取两次，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率是___________。

法一：设第一张是奇数记为事件\(A\)，第二张是奇数记为事件\(B\)，

则\(P(A)=\cfrac{A_5^1A_8^1}{A_9^2}=\cfrac{5}{9}\)，\(P(AB)=\cfrac{A_5^2}{A_9^2}=\cfrac{5}{18}\)，

所以\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\frac{5}{18}}{\frac{5}{9}}=\cfrac{1}{2}\)；

法二：设第一张是奇数记为事件\(A\)，第二张是奇数记为事件\(B\)，

\(n(A)=5\times 8=40\)，\(n(AB)=5\times 4=20\)，所以\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}=\cfrac{20}{40}=\cfrac{1}{2}\)。

某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率是__________。

分析：记事件\(A\)为这个家用电器已经使用了三年，事件\(B\)为这个家用电器使用到四年，显然\(B\subseteq A\)，即事件\(AB=B\)，

由题目可知\(P(A)=0.8\)，\(P(AB)=0.4\)，故\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.8}=\cfrac{1}{2}\)。

【2018济南针对性训练】某射击选手射击一次命中的概率是0.7，两次均射中的概率是0.4，已知某次射中则随后一次射中的概率是 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{7}{10}$ $B.\cfrac{6}{7}$ $C.\cfrac{4}{7}$ $D.\cfrac{2}{5}$

分析：设某一次射中为事件\(A\)，随后一次射中为事件\(B\)，则\(P(A)=0.7\)，\(P(AB)=0.4\)，

则\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{0.4}{0.7}=\cfrac{4}{7}\)。

设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品，从中任取1件，已知取得的是合格品，则它是一等品的概率是__________。

分析：设\(B\)表示取得一等品，\(A\)表示取到合格品，则

法一：由于95件合格品中有70件一等品，又由于一等品也是合格品，所以\(AB=B\)，

\(P(B|A)=\cfrac{70}{95}=\cfrac{14}{19}\)；

法二：\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{\cfrac{70}{100}}{\cfrac{90}{100}}=\cfrac{14}{19}\)。

【2019届高三理科数学三轮模拟试题】从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)中不放回地依次取\(2\)个数，事件\(A\)=“第一次取到的是奇数”，事件\(B\)=“第二次取到的是奇数”，则\(P(B|A)\)= 【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{5}$ $B.\cfrac{3}{10}$ $C.\cfrac{2}{5}$ $D.\cfrac{1}{2}$

法1：条件概率法，由题可知，\(P(AB)=\cfrac{A_5^2}{A_9^2}=\cfrac{5}{18}\)，\(P(A)=\cfrac{A_5^1}{A_9^1}=\cfrac{5}{9}\)，

故\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{1}{2}\)，故选\(D\).

法2：古典概型法，由题可知，\(n(A)=5\times 8=40\)，\(n(AB)=5\times 4=20\)，故\(P(B|A)=\cfrac{n(AB)}{n(A)}=\cfrac{20}{40}=\cfrac{1}{2}\);