直接证明与间接证明

前言

综合法和分析法都属于直接证明的方法，反证法属于间接证明方法；

综合法

• 又称为“由因导果”法，综合法中常用的公式

\(a^2+b^2\ge 2ab\)，

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)；

\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)；

• 综合法中常用的结论参阅轮换对称式

① \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)；

②已知\(a，b，c>0\)，且\(a+b+c=1\)，

则有\(a^2+b^2+c^2\ge \cfrac{1}{3}\)，\(ab+bc+ca\leq \cfrac{1}{3}\)；\(\cfrac{a^2}{b}+\cfrac{b^2}{c}+\cfrac{c^2}{a}\ge 1\)

分析法

• 又称为“执果索因”法，分析法的书写格式：

【2018济宁二模】已知\(a>0\)，求证：\(\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}-\sqrt{2}\ge a+\cfrac{1}{a}-2\)。

证明：用分析法，

要证\(\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}-\sqrt{2}\ge a+\cfrac{1}{a}-2\)，

只要证\(\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}+2\ge a+\cfrac{1}{a}+\sqrt{2}\)，

由于\(a>0\)，故只要证\((\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}+2)^2\ge (a+\cfrac{1}{a}+\sqrt{2})^2\)，

即\(a^2+\cfrac{1}{a^2}+4\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}+4\ge a^2+2+\cfrac{1}{a^2}+2\sqrt{2}(a+\cfrac{1}{a})+2\)，

从而只要证\(2\sqrt{a^2+\cfrac{1}{a^2}}\ge \sqrt{2}(a+\cfrac{1}{a})\)，

只要证\(4(a^2+\cfrac{1}{a^2})\ge 2(a^2+2+\cfrac{1}{a^2})\)，

即只要证\(a^2+\cfrac{1}{a^2}\ge 2\)，

而上述不等式显然成立，

故原不等式成立。

• 注意上述的书写格式，是分析法独有的，不能省略，否则逻辑关系就出现错误了。
• 只需要将上述的书写过程倒过来，就是综合法。

反证法

参阅反证法