有限与无限思想

前言

有限与无限并不是一个全新的数学思想，虽然我们开始学习的数学都是有限的教学，但其中也包含有无限的成分，只不过没有进行深入的研究。在学习有关数及其运算的过程中，对自然数、整数、有理数、实数、复数的学习都是有限个数的运算，但实际上各数集内元素的个数都是无限的。在解析几何中，还学习过抛物线的渐近线，已经开始有极限的思想体现在其中。数列的极限和函数的极限集中体现了有限与无限的思想。使用极限的思想解决数学问题，比较明显的是立体几何中求球的体积和表面积，采用无限分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，然后再求和求极限，这是典型的有限与无限的思想的应用。

函数是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观事物中的重要作用。导数是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决函数的增减、极大、极小、最大、最小等实际问题，是研究客观事物变化率和最优化问题的有力工具。

高考中对有限与无限思想的考查才刚刚起步，并且往往是在考查其他数学思想和方法的过程中同时考查有限与无限思想。例如，在使用由特殊到一般的归纳思维时，含有有限与无限的思想；在使用数学归纳法证明时，解决的是无限的问题，体现的是有限与无限的思想，等等。随着对新增内容的考查的逐步深入，必将加强对有限与无限的思想的考查，设计出突出体现有限与无限思想的新颖试题。

典例剖析

【2017年宝鸡市二检第10题】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似地可以把循环小数化为分数，把\(0.\dot{3}\dot{6}\)化为分数的结果是______.

相关解读：

①圆内接正多边形动态课件演示图

解读分析：当圆内接正多边形的边数越来越多时，圆内接正多边形趋近于圆。当边数趋于正无穷大时，则圆内接正多边形就变成了圆。

②求解无理方程。令\(\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}=x\)，则原式可写成\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=x\)，通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)。

③本题的其他两种常用的求解思路：

【思路1】：利用无穷递缩等比数列的前\(n\)项和计算。

分析如下：\(0.\dot{3}\dot{6}=0.36+0.0036+0.000036+\cdots=36(0.01+0.0001+0.000001+\cdots)\)

\(=36\times\cfrac{0.01(1-0.01^{+\infty})}{1-0.01}\xlongequal{结合极限}36\times \cfrac{1}{99}\)

\(=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)

【思路2】：利用整体思想代换处理。

\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100=36.\dot{3}\dot{6}\)，上式两边同时减去\(0.\dot{3}\dot{6}\)，

得到\(0.\dot{3}\dot{6}\times 100 -0.\dot{3}\dot{6} =36.\dot{3}\dot{6} - 0.\dot{3}\dot{6}\)，

即\(99\times 0.\dot{3}\dot{6}=36\)，故\(0.\dot{3}\dot{6}=\cfrac{36}{99}=\cfrac{4}{11}\)

【2018安徽江淮十校联考】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术(刘徽注)中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，则\(1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}\)=【】

$A.\cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}$ $B.\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ $C.\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ $D.\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

分析：令\(1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}=x\)，则左式的分母也就是\(x\)，即原式可以改写为\(1+\cfrac{1}{x}=x\)，

即\(x^2-x-1=0\)，解得\(x=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)，其中\(x=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)舍去，原因是由表达式可知必有\(x>0\)。

故\(1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cdots}}=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)，故选\(C\)。

探究证伪：上述的解法是现有常见题库中的常见解法，但我们认为有漏洞，不应该舍去负值，以下尝试利用软件从形上作以解释；

首先定义原函数[零次迭代]为\(f(x)=1+\cfrac{1}{x}\)，

则一次迭代\(f(f(x))=1+\cfrac{1}{f(x)}=1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{x}}\)，

二次迭代\(f(f(f(x)))=1+\cfrac{1}{f(f(x))}=1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{f(x)}}=1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}\)，

三次迭代\(f(f(f(f(x))))=1+\cfrac{1}{f(f(f(x)))}\)\(=1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{f(f(x))}}\)\(=1+\cfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{x}}}}\)，

依此类推，\(\cdots\)，直到无限次迭代，观察下图可以看出，

当迭代的次数为偶数次时，函数的图像出现在第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个象限内，图像关于直线\(y=-x+1\)对称；

当迭代的次数为奇数次时，函数的图像出现在第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个象限内，图像关于直线\(y=-x+1\)对称；

总的来说，函数的任何次迭代的图像都是关于直线\(y=-x+1\)对称；并且这些函数都经过公共点\((\cfrac{\sqrt{5}+1}{2},\cfrac{\sqrt{5}+1}{2})\)和\((\cfrac{1-\sqrt{5}}{2},\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})\)，

当我们做出函数\(y=x\)的图像时，很显然函数\(y=x\)和任何次的迭代结果的函数图像始终有两个交点，

其一为\((\cfrac{\sqrt{5}+1}{2},\cfrac{\sqrt{5}+1}{2})\)，其二为\((\cfrac{1-\sqrt{5}}{2},\cfrac{1-\sqrt{5}}{2})\)，

故\(x=\cfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)或者\(x=\cfrac{1-\sqrt{5}}{2}\)应该都满足题意；

即两个值都是满足题意的，故选项\(C\)，\(D\)都满足。

【无穷递缩等比数列求和】求值：\(S=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{2^3}+\cdots+\cfrac{1}{2^n}+\cdots\)。

分析：\(S=\cfrac{\cfrac{1}{2}\cdot[1-(\cfrac{1}{2})^n]}{1-\cfrac{1}{2}}=1-(\cfrac{1}{2})^n\)；当\(n\rightarrow +\infty\)时，\(S=1\)。

对应的图形说明如下，下图是边长为\(1\)的正方形，其面积为\(1\)，各种颜色的矩形的面积之和为\(1\)。

对应练习

\(0.\dot{4}\dot{7}=\cfrac{47}{99}\)，\(0.\dot{3}=\cfrac{3}{9}=\cfrac{1}{3}\)，\(0.4\dot{7}=\cfrac{43}{90}\)，

提示：\(0.4\dot{7}\times 10=4.\dot{7}\)，\(0.4\dot{7}\times 100=47.\dot{7}\)，两式作差\(90\times 0.4\dot{7}=47-4=43\)，故\(0.4\dot{7}=\cfrac{43}{90}\)。

【同类提升】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似的可以得到，\(1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{3^3}+\cdots+\cfrac{1}{3^{n}}+\cdots\)=_____________。

分析：利用类比思想，令\(1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{3^3}+\cdots+\cfrac{1}{3^{n}}+\cdots=x\)，

则由\(1+\cfrac{x}{3}=x\)，解得\(x=\cfrac{3}{2}\)；

即\(1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{3^3}+\cdots+\cfrac{1}{3^{n}}+\cdots=\cfrac{3}{2}\)，

【同类提升】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似的可以得到，\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}}\)=_____________。

分析：令\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}}=m(m>0)\)，则两边平方得到\(3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}}=m^2\)，

即\(3+m=m^2\)，解得\(m=\cfrac{1+\sqrt{13}}{2}\)，或\(m=\cfrac{1-\sqrt{13}}{2}\)(舍去)，

故\(\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\cdots}}}=\cfrac{1+\sqrt{13}}{2}\).

【同类提升】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似的可以得到，\(\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}\)=_____________。

分析：令\(\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}=m(m>0)\)，则由题可知，\(\sqrt{2m}=m\)，

两边平方得到，\(2m=m^2\)，解得\(m=2\)，或\(m=0\)(舍去)，

故\(\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{\cdots}}}}=2\).

【同类提升】有限与无限转化是数学中的一种重要的思想方法。如在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如\(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}\)中“\(\cdots\)”即代表无限次重复，但原式却是个定值\(x\)，这可以通过方程\(\sqrt{2+x}=x\)确定出来\(x=2\)，类似的可以得到，\(2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cdots}}}\)=_____________。

分析：令\(2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cdots}}}=t(t>0)\)，则由题可知，\(2-\cfrac{1}{t}=t\)，

变形整理得到，\((t-1)^2=0\)，解得\(t=1\)，故\(2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{\cdots}}}=1\).