推理与证明 | 新高考已删

归纳推理

• 涉及表达式类的归纳推理，
• 涉及数列类的归纳推理，常常考查二阶等差数列已知数列\(\{a_n\}\)，不是等差数列，但是\((a_{n+1}\)\(-\)\(a_n)\)\(-\)\((a_n\)\(-\)\(a_{n-1})\)\(=\)\(d\)，\(d\)为常数，则数列\(\{a_{n+1}\)\(-\)\(a_n\}\)相对于数列 \(\{a_n\}\)，就可以称为二阶数列，且其为等差数列，故称为二阶等差数列。，或二阶等比数列已知数列\(\{a_n\}\)，不是等比数列，但是\(\cfrac{a_{n+1}-a_n}{a_n-a_{n-1}}\)\(=\)\(q\)，\(q\)为常数，则数列\(\{a_{n+1}\)\(-\)\(a_{n}\}\)为原数列\(\{a_n\}\)的二阶等比数列；，或斐波那契数列斐波那契数列指的是数列 \(1\),\(1\),\(2\),\(3\),\(5\),\(8\),\(13\),\(\cdots\)，其中\(a_{n+1}=a_n+a_{n-1}\)，\(n\geqslant 2\)；

类比推理

• 元素之间的类比结论：点\(\Rightarrow\)线，线\(\Rightarrow\)面，面\(\Rightarrow\)体，

• 几何体之间的类比结论：三角形\(\Rightarrow\)四面体，正三角形\(\Rightarrow\)正四面体，\(Rt\triangle\)三角形\(\Rightarrow\)直三面角的四面体(墙角)，内切圆\(\Rightarrow\)内切球，

• 几何体位置关系之间的类比结论：平面内平行\(\Rightarrow\)空间内平行，平面内垂直\(\Rightarrow\)空间内垂直，

• 运算符号之间的类比结论：差\(\Rightarrow\)比，和\(\Rightarrow\)积，积\(\Rightarrow\)乘方，商\(\Rightarrow\)开方，取对数\(\Rightarrow\)取指数，

• 测度之间的类比结论：长度\(\Rightarrow\)面积，面积\(\Rightarrow\)体积，圆的半径\(\Rightarrow\)椭圆的焦半径，，内切圆(外接圆)面积\(\Rightarrow\)内切球(外接球)体积，

• 运算法则之间的类比结论：有理数运算法则\(\Rightarrow\)实数运算法则，实数运算法则\(\Rightarrow\)复数运算法则，

• 证明方法之间的类比结论：等面积法\(\Rightarrow\)等体积法，

• 对应数字之间的类比结论：平方\(2\Rightarrow 3\)立方，\(\sqrt[2]{??}\Rightarrow \sqrt[3]{??}\)，\(3\Rightarrow 4\)，\(\cfrac{1}{3}\Rightarrow \cfrac{1}{4}\)，

• 对应数学对象的个数之间的类比结论：两个根的根与系数关系\(\Rightarrow\)三个根的根与系数关系；两个事件互斥\(\Rightarrow\)三个事件互斥；两个事件相互独立\(\Rightarrow\)三个事件相互独立；

• 涉及数列类的类比推理，由等差数列的性质类比到等比数列的性质。

演绎推理

• 演绎推理的主要形式：三段论。

有理数是无限循环小数(大前提)，整数是有理数(小前提)，所以整数是无限循环小数(结论)。

分析：上述的推理形式就是演绎推理，但是结果却是错误的。原因是大前提不正确。

• 实数按定义分类：

\[实数\R\left\{\begin{array}{l}{有理数\Q\left\{\begin{array}{l}{整数\Z\left\{\begin{array}{l}{正整数\N_+}\\{零}\\{负整数\N_-}\end{array}\right\}正整数\&零\Rightarrow 自然数\N}\\{分数\left\{\begin{array}{l}{正分数}\\{负分数}\end{array}\right\}有限小数或无限循环小数\Rightarrow 小数}\end{array}\right.}\\{无理数C_{\R}{\Q}\Leftrightarrow 无限不循环小数\Rightarrow 小数}\end{array}\right. \]

• 实数按大小分类：

\[实数\left\{\begin{array}{l}{正实数\left\{\begin{array}{l}{正有理数\left\{\begin{array}{l}{正整数}\\{正分数}\end{array}\right.}\\{正无理数}\end{array}\right.}\\{零}\\{负实数\left\{\begin{array}{l}{负有理数\left\{\begin{array}{l}{负整数}\\{负分数}\end{array}\right.}\\{负无理数}\end{array}\right.}\end{array}\right. \]

典例剖析

【归纳推理】【2018青岛模拟】【与数式有关的归纳推理】观察下列等式：

\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}=1-\cfrac{1}{2^2}\)，

\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}=1-\cfrac{1}{3\times 2^2}\)，

\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}=1-\cfrac{1}{4\times 2^3}\)，

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

由以上等式推测到一个一般性的结论为：

\(\cfrac{3}{1\times 2}\times \cfrac{1}{2}+\cfrac{4}{2\times 3}\times \cfrac{1}{2^2}+\cfrac{5}{3\times 4}\times \cfrac{1}{2^3}+\cdots+\cfrac{n+2}{n\times(n+1)}\times \cfrac{1}{2^n}=1-\cfrac{1}{(n+1)\times 2^n}\)。

【2018揭阳校级模拟】观察以下式子：

\(1+\cfrac{1}{2^2}<\cfrac{3}{2}\)；

\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}<\cfrac{5}{3}\)；

\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}<\cfrac{7}{4}\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

由以上等式推测到一个一般性的结论为：？

\(1+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cdots+\cfrac{1}{n^2}<\cfrac{2n-1}{n}(n\ge 2，n\in N^*)\)；

【2018·山东省滕州第二中学模拟】在\(\triangle ABC\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}\ge \cfrac{9}{\pi}\)成立；

在凸四边形\(ABCD\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}\ge \cfrac{16}{2\pi}\)成立；

在凸五边形\(ABCDE\)中，不等式\(\cfrac{1}{A}+\cfrac{1}{B}+\cfrac{1}{C}+\cfrac{1}{D}+\cfrac{1}{E}\ge \cfrac{25}{3\pi}\)成立；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，以此类推，?

在凸\(n\)边形\(A_1A_2A_3\cdots A_n\)中，不等式\(\cfrac{1}{A_1}+\cfrac{1}{A_2}+\cfrac{1}{A_3}+\cdots+\cfrac{1}{A_n}\ge \cfrac{n^2}{(n-2)\pi}(n\ge 3，n\in N^*)\)成立；

【与斐波那契数列有关的归纳推理】某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为\(1，1，2，3，5\)，则预计第10年树的分枝数为

$A.21$ $B.34$ $C.52$ $D.55$

分析：本题目涉及到的数列为“斐波那契数列”，其构成规律为：\(a_1\)，\(a_2\)已知，其他项由递推公式\(a_{n+2}\)\(=\)\(a_{n+1}\)\(+\)\(a_n\)，\(n\in N^*\)得到，

故\(a_6=8\)，\(a_7=13\)，\(a_8=21\)，\(a_9=34\)，\(a_{10}=55\)，\(a_{11}=89\)，故选\(D\)。

【与二阶等差数列有关的归纳推理】【2018·大庆校级模拟】蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有\(1\)个蜂巢，第二个图有\(7\)个蜂巢，第三个图有\(19\)个蜂巢，按此规律，第\(6\)幅图的蜂巢总数为【 】

$A.61$ $B.90$ $C.91$ $D.127$

法1：注意到蜂巢个数所成的数列是二阶等差数列，我们可以这样做：

\(1\stackrel{+6}{\longrightarrow}7\)； \(7\stackrel{+2\times 6}{\longrightarrow}19\)；\(19\stackrel{+3\times 6}{\longrightarrow}37\)；\(37\stackrel{+4\times6}{\longrightarrow}61\)；\(61\stackrel{+5\times6}{\longrightarrow}91\)；\(91\stackrel{+6\times6}{\longrightarrow}127\)；故选\(C\)。

法2：利用二阶等差数列和累加法求解；令蜂巢个数为\(f(n)\)，则\(f(1)=1\)，\(f(2)=7\)，\(f(3)=19\)，\(f(4)=37\)，由于

\(f(2)-f(1)=7-1=1\times 6\)；

\(f(3)-f(2)=19-7=2\times 6\)；

\(f(4)-f(3)=37-19=3\times 6\)；

\(f(5)-f(4)=61-37=4\times 6\)；

$\cdots $，

\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)\)；

因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，

\(f(n)-f(1)=6\times [1+2+3+\cdots+(n-1)]=3n(n-1)\)；

故\(f(n)=3n^2-3n+1\)；

当\(n=1\)时，\(f(1)=1=3\times1^2-3\times1+1\)，符合上式，

故蜂巢个数为\(f(n)=3n^2-3n+1\)，

故可以计算\(f(6)=91\)，当然也可以得到\(f(10)=271\)；

【与二阶等差数列有关的归纳推理】在平面内有\(n(n\in N*)\)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这\(n\)条直线把平面分成\(f(n)\)个平面区域，

求\(f(1)\)，\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)的值；并总结\(f(n)\)的表达式。

解析：由题意知，则\(f(1)=2\)，\(f(2)=4\)，\(f(3)=7\)，\(f(4)=11\)，\(f(5)=16\)，

\(f(2)-f(1)=4-2=2\)；

\(f(3)-f(2)=7-4=3\)；

\(f(4)-f(3)=11-7=4\)；

\(f(5)-f(4)=16-11=5\)；

$\cdots $，

\(f(n)-f(n-1)=n\)；

因此，当\(n\ge 2\)时，由累加法可知，

\(f(n)-f(1)=2+3+\cdots+n=\cfrac{(n+2)(n-1)}{2}\)

即\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)

当\(n=1\)时，\(f(1)=2\)，也满足上式，故

\(f(n)=\cfrac{n^2+n+2}{2}\)。

【与累加法有关的归纳推理】下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第\(n\)个图形中所有小正三角形边上黑点的总数为\(f(n)\)．

(1)求出\(f(2)\)，\(f(3)\)，\(f(4)\)，\(f(5)\)；

分析：由题意可知，

\(f(1)=3\)，

\(f(2)=f(1)+3+3\times 2=12\)，

\(f(3)=f(2)+3+3\times 4=27\)，

\(f(4)=f(3)+3+3\times 6=48\)，

\(f(5)=f(4)+3+3\times 8=75\)，

(2)找出\(f(n)\)与\(f(n＋1)\)的关系，并求出\(f(n)\)的表达式．

分析：由题意及(1)可知，

\(f(n+1)=f(n)+3+3\times 2n=f(n)+6n+3\)，

即\(f(n+1)-f(n)=6n+3\)，

则\(f(2)-f(1)=6\times 1+3\)，

\(f(3)-f(2)=6\times 2+3\)，

\(f(4)-f(3)=6\times 3+3\)，

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

\(f(n)-f(n-1)=6\times (n-1)+3\)，

利用累加法可知，当\(n\ge 2\)时，

\(f(n)-f(1)=6[1+2+\cdots+(n-1)]+3(n-1)=6\times \cfrac{n(n-1)}{2}+3(n-1)=3n^2-3\)，

即\(f(n)=3n^2\)，当\(n=1\)时，满足上式，

故\(f(n)=3n^2(n\in N^*)\)。

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：平面内的直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方，

空间内的直三面角中，三个侧面的面积平方之和为斜底面的面积的平方，

即\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)，

【类比推理】

平面内正三角形的内切圆的圆心、外接圆的圆心，是正三角形的内心；在正三角形的高线的靠近底边的三等分点处；

空间内正四面体的内切球的球心、外接球的球心，是正四面体的(类内心)；在正四面体的高线的靠近底面的四等分点处；

注意：等面积法，等体积法；

【类比推理】【等和数列】数列\(\{a_n\}\)满足\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}(n\in N^*)\)，\(a_2=2\)，\(S_n\)试数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和，则\(S_{21}\)为【】

$A.5$ $B.\cfrac{7}{2}$ $C.\cfrac{9}{2}$ $D.\cfrac{13}{2}$

分析：由题目可知，数列\(\{a_n\}\)是等和数列，也是周期数列，由\(a_n+a_{n+1}=\cfrac{1}{2}\)得到数列的前\(21\)项如下：

\(-\cfrac{3}{2}，2，-\cfrac{3}{2}，2，-\cfrac{3}{2}，2，\cdots，-\cfrac{3}{2}\)，

则\(S_{21}=10\times (-\cfrac{3}{2}+2)-\cfrac{3}{2}=\cfrac{7}{2}\)。

小结：等和数列大多表现为摆动数列或常数列。

【类比推理】【等积数列】在一个数列\(\{a_n\}\)中，如果\(\forall n\in N^*\)，都有\(a_na_{n+1}a_{n+2}=k(k\)为常数，那么这个数列叫做等积数列，\(k\)叫其公积，已知数列\(\{a_n\}\)是等积数列，且\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，公积为\(8\)，则\(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_{12}=\)_____________。

分析：由等积数列的定义和已知条件，可以计算得到数列的各项如下，数列为周期数列，周期为\(3\)，一个周期内的三项分别为\(1，2，4\)；

\(-1，2，4，-1，2，4，-1，2，4，\cdots，-1，2，4，\)，

故\(S_{12}=(1+2+4)\times 4=28\)。

【类比推理】

• (1)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

• (2)正方形的棱长设为\(2a\)，则正方形的内切圆半径为\(a\)，正方形的外接圆半径为\(\sqrt{2}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{2}\)；

正方体的棱长设为\(2a\)，则正方体的内切球半径为\(a\)，正方体的外接球半径为\(\sqrt{3}a\)，三者的关系之比为\(2：1：\sqrt{3}\)；

• (3)正三角形的棱长设为\(2a\)，则正三角形的内切圆半径为\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，正三角形的外接圆半径为\(\cfrac{2\sqrt{3}}{3}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{3}：1：2\)；

正四面体的棱长设为\(2a\)，则正四面体的内切球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{6}a\)，正四面体的外接球半径为\(\cfrac{\sqrt{6 }}{2}a\)，三者的关系之比为\(2\sqrt{6}：1：3\)；

【归纳推理】【2018山西四校联考】已知\(x\in (0，+\infty)\)，观察下列各式：(注意，我们有意将其竖行书写)

\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\)；

\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\)；

\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\)；

\(\cdots\)，类比得到

\(x+\cfrac{a}{x^n}\ge n+1\)，则\(a\)=__________。

分析：第一个式子是\(n=1\)的情形，此时\(a=1^1=1\)；

第二个式子是\(n=2\)的情形，此时\(a=2^2=4\)；

第三式子是\(n=3\)的情形，此时\(a=3^3=27\)；

归纳可知， \(a=n^n\)；

延伸阅读：上述表达式其实是均值不等式的拓展情形，

二元均值不等式：\(x+\cfrac{1}{x}\ge 2\sqrt{x\times \cfrac{1}{x}}=2\)；

三元均值不等式：\(x+\cfrac{4}{x^2}=\cfrac{x}{2}+\cfrac{x}{2}+\cfrac{4}{x^2}\ge 3\sqrt[3]{\cfrac{x}{2}\times\cfrac{x}{2}\times\cfrac{4}{x^2}}=3\)；

四元均值不等式：\(x+\cfrac{27}{x^2}=\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{x}{3}+\cfrac{27}{x^3}\ge 4\sqrt[4]{\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{x}{3}\times\cfrac{27}{x^3}}=4\)；

【类比性质的类比推理】半径为\(r\)的圆的面积\(S=\pi r^2\),周长\(C=2\pi r\)，若将\(r\)看作\((0，+\infty)\)上的变量,则\((\pi r^2)′=2\pi r\)，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；对于半径为\(R\)的球，若将\(R\)看作\((0，+\infty)\)上的变量，类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).

分析：半径为\(R\)的球体积\(V= \cfrac{4}{3}\pi R^3\)，表面积\(S=4\pi R^2\)，显然$ (\cfrac{4}{3}\pi R^3)′=4\pi R^2$，

即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

【类比性质的类比推理】

• 已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(\cfrac{a_{11}+a_{12}+\cdots+a_{20}}{10}=\cfrac{a_1+a_2+\cdots+a_{30}}{30}\)，

则在等比数列中：\(\sqrt[10]{b_{11}\cdot b_{12}\cdots b_{20}}=\sqrt[30]{b_1\cdot b_2\cdots b_{30}}\)。

• 由圆\(x^2+y^2=r^2\)的面积\(S=\pi r^2\)，类比得到

椭圆\(\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1\)的面积\(S=\pi ab\)。

【类比性质的类比推理】在圆中有结论：如图所示，“\(AB\)是圆\(O\)的直径，直线\(AC\)，\(BD\)是圆\(O\)过\(A\)，\(B\)的切线，\(P\)是圆\(O\)上任意一点，\(CD\)是过\(P\)的切线，则有\(PO^2＝PC\cdot PD\)”。类比到椭圆：“ \(AB\)是椭圆的长轴，直线\(AC\)，\(BD\)是椭圆过\(A\)，\(B\)的切线，\(P\)是椭圆上任意一点，\(CD\)是过\(P\)的切线，则有____________．”

分析：椭圆中的焦半径类比圆中的半径，有\(PF_1\cdot PF_2=PC\cdot PD\)

提示：左图中结论的证明，连结\(OC\)，\(OD\)，利用射影定理证明。

【2016湖南东部六校联考】对于问题“已知关于\(x\)的不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，解关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)”，给出如下一种解法：由\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-1，2)\)，得到\(a(-x)^2+b(-x)+c>0\)的解集为\((-2，1)\)，即关于\(x\)的不等式\(ax^2-bx+c>0\)的解集为\((-2，1)\)。

参考上述解法，若关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\((-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，则关于\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为________.

分析：本题目对学生的思维的灵活性要求比较高，需要有一定的数学素养的储备。

关于\(x\)的不等式\(\cfrac{k}{x+a}+\cfrac{x+b}{x+c}<0\)的解集为\(x\in (-1，-\cfrac{1}{3})\cup(\cfrac{1}{2}，1)\)，

所以用\(\cfrac{1}{x}\)代换解集中的\(x\)，\(-1<\cfrac{1}{x}<-\cfrac{1}{3}\)或者\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1}{x}<1\)，可得\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，

用\(\cfrac{1}{x}\)代换原不等式中的\(x\)，即为\(\cfrac{k(\cfrac{1}{x})}{a(\cfrac{1}{x})+1}+\cfrac{b(\cfrac{1}{x})+1}{c(\cfrac{1}{x})+1}<0\)的解集为\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)，

即就是\(x\)的不等式\(\cfrac{kx}{ax+1}+\cfrac{bx+1}{cx+1}<0\)的解集为\(-3<x<-1\)或\(1<x<2\)。

感悟思考：本题目的求解不是常规的求各个系数的值，然后按照常规解不等式，而是巧妙运用代换法求解，即将解集代换，将不等式代换。

于此类似的有下列问题，

如已知\(f(x)+2f(-x)=2x+3\)，求\(f(x)\)的解析式；

再如已知\(3f(x)+f(\cfrac{1}{x})=x\)，求\(f(x)\)的解析式。

【2021届高三文科一轮试题】某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为\(1\)，两两夹角为\(120^{\circ}\)；二级分形图是从一级分形图的每条线段的末端出发，再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为\(120^{\circ}\)，\(\cdots\)，依此规律人文得到\(n\)级分形图.

则 \(n\) 级分形图中共有__________条线段.

分析：由此分形图的制作过程我们可以得到以下的表达式，用\(f(n)\)表达\(n\)级分形图的线段条数，则有

\(f(1)=3\)；

\(f(2)=3+6\)；

\(f(3)=3+1\times 6+2\times 6\)；

\(f(4)=3+1\times 6+2\times 6+4\times 6\)；

\(f(5)=3+1\times 6+2\times 6+4\times 6+8\times 6\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

对以上数据做加工，得到

\(f(2)-f(1)=1\times 6=2^0\times 6\)；

\(f(3)-f(2)=2\times 6=2^1\times 6\)；

\(f(4)-f(3)=4\times 6=2^2\times 6\)；

\(f(5)-f(4)=8\times 6=2^3\times 6\)；

\(\cdots\)，\(\cdots\)，

\(f(n)-f(n-1)=? \times 6=2^{n-2}\times 6\)；

以上\(n-1\)个式子累加，得到

\(f(n)-f(1)=[2^0+2^1+2^2+\cdots+2^{n-2}]\times 6=6\times \cfrac{2^{n-1}-1}{2-1}=6(2^{n-1}-1)\)，

解得， \(f(n)=6\cdot 2^{n-1}-6+3=3\times 2^n-3\)；