题意

有 \(n\) 个整数，值域 \([1,n]\)。请你将这 \(n\) 个数划分为两个非空集合 \(S,T\)，并选择 \(x,y\)。

要求 \(x\) 为 \(S\) 的众数之一，\(y\) 为 \(T\) 的众数之一。最大化 \(\lvert x-y \rvert\) 的值。

\(Q\) 组询问，每次询问前修改 \(a_x \leftarrow y\)。 \(n \leq 2\times 10 ^5\)。

题解

对于选出的 \(x,y\)，考虑如何贪心地划分集合：所有数 \(x\) 放入 \(S\)，所有数 \(y\) 放入 \(T\)，其他数摊到两个集合。

所以，\((x,y)\) 能被同时取出，当且仅当：

即:

既然要最大化下标差，那么我们可以对每种不同的 \(cnt\) 记录 \(cnt_i=v\) 的最大、最小下标 \(mxi_v,mni_v\)。

双指针，枚举 \(cnt_y\)，找到最大的 \(cnt_x\) 使 \(cnt_x \geq mxcnt - cnt_y\)，用 \(mxi_{cnt},mni_{cnt}\) 之差更新答案。

双指针移动 \(n\) 次，这样复杂度是 \(O(n)\) 的，多组询问总复杂度 \(O(nQ)\)。

怎么优化呢？因为始终有 \(\sum cnt_i=n\)，所以本质不同的 \(cnt_i\) 最多有 \(O(\sqrt n)\) 种（考虑 \(1+2+ \cdots + t \leq n\) 那么 \(t\) 是 \(O(\sqrt n)\) 的）。

所以只需要考虑那些不同的非零 \(cnt_i\) 即可，用 set 维护存在的 \(cnt\) 值，再对每种 \(cnt\) 开一个 set 辅助求解最大、最小下标。

时间复杂度 \(O(n \log n + n \sqrt n)\)。

代码

/*
 * @Author: wanggk
 * @Date: 2025-04-07 12:09:38
 */
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,il,ir) for(int i=(il);i<=(ir);++i)
#define End putchar('\n')
using namespace std;
void rd(int &x){ bool f=0;x=0;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); if(f) x=-x; }
void write(int x){ int write_num[50],len=0; if(x<0) putchar('-'),x=-x; do write_num[len++]=x%10; while(x/=10); while(len--) putchar(write_num[len]+'0'); }
const int maxn=2e5+10;

int n,Q;
set<int> st[maxn],S;
int a[maxn],c[maxn],mxi[maxn],mni[maxn];

void addc(int i,int cl){ //i 的得票变成 cl 了
	if(!cl) return; st[cl].insert(i);
	mxi[cl]=max(mxi[cl],i);
	mni[cl]=min(mni[cl],i);
	if(st[cl].size()==1) S.insert(cl);
}
void delc(int i,int cl){ //i 的得票不再是 cl 了
	if(!cl) return; st[cl].erase(i);
	if(st[cl].empty()) S.erase(cl),mxi[cl]=0,mni[cl]=n+1;
	else if(!st[cl].empty()) mxi[cl]=*--st[cl].end(),mni[cl]=*st[cl].begin();
}
signed main()
{
	rd(n),rd(Q);
	For(i,1,n) rd(a[i]),c[a[i]]++,mxi[i]=0,mni[i]=n+1;
	For(i,1,n) addc(i,c[i]);
	while(Q--)
	{
		int i,x;rd(i),rd(x);
		delc(a[i],c[a[i]]--),addc(a[i],c[a[i]]); a[i]=x;
		delc(a[i],c[a[i]]++),addc(a[i],c[a[i]]);
		
		int mx=*--S.end(),mxp=0,mnp=n+1,res=0;
		if(*S.begin()+*S.begin()>=mx) res=max(res,mxi[*S.begin()]-mni[*S.begin()]);
		for(auto itl=S.begin(),itr=--S.end();itl!=S.end();itl++){//双指针
			while(itr!=S.begin() && (*itr)+(*itl)>=mx)
				mxp=max(mxp,mxi[*itr]),mnp=min(mnp,mni[*itr]),itr--;
			res=max(res,max(mxp-mni[*itl],mxi[*itl]-mnp));
		}
		write(res),End;
	}
	return 0;
}