Python树的概念

1、定义

1)非线性结构，每个元素可以有多个前驱和后继。

2)树是n（n>=0）个元素的集合。

n=0时，称为空树。

树只有一个特殊的没有前驱的元素，称为树的根root。

树中除了根节点外，其余元素只能有一个前驱，可以有零个或者多个后继。

2、递归定义

树T是n（n>=0）个元素的集合，n=0时，称为空树。

有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以被划分为m个互不相交的集合T1、T2、T3、.....、Tm，而每个元素都是树，称为T的子树。

子树也有自己的根。

 

3、树的概念

结点：树中的数据元素。

结点的度degree：结点拥有子树的树木称为度。记作d（v）。

叶子结点：结点度为0，称为叶子结点leaf、终端结点、末端结点。

分支结点：:结点的度不为0，称为非终端结点或分支结点。

分支：结点之间的关系

内部结点：除了根结点外的分支结点，不包括子结点。

树的度是树内各结点的度的最大值。D的结点度最大为3，树的度数就是3.

孩子结点：结点的子树的根结点成为该结点的孩子。

双亲结点：一个结点是它各子树的根结点的双亲。

兄弟结点：具有相同双亲结点的结点：

祖先结点：祖先结点：从根结点到该结点所经分支上所有的结点。Ａ、Ｂ、Ｄ都是Ｇ的祖先结点。

子孙结点：结点的所有子树上的结点都是该结点的子孙》Ｂ的子孙是ＤＧＨＩ

结点的层次：根结点为第一层，根的孩子为第二层，依次类推，记作Ｌ（ｖ）

树的深度（高度Ｄepth）：树的层次的最大值，上图的树深度为４

堂兄弟：双亲的同一层的结点

 

 

 

 

 

有序树：结点的子树是有顺序的（兄弟有大小，有先后次序），不能交换。

无序树:结点的子树是有无序的，可以交换。

路径：树中的k个结点n1、n2、....、nk。满足ni是n（i+1）的双亲，成为你到nk的一条路径。就是一条线串下来的，前一个都是后一个的父（前驱）结点。  路径就是一串从上到下：a到g。

路径长度=路径上的结点树-1，也是分支树。长度就是-1.

森林：m（m》=0）棵不相交的树的集合，对于结点而言，其树的集合就是森林。A的结点的2棵子树的集合就是森林。

4、树的特点

唯一的根

子树不相交

除了根以外。每个元素只能有一个前驱，可以有零个或者多个后继。

根结点就没有双亲结点(前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）

Vi是vj的双亲，则L（vi）=L（vi）-1，也就是双亲比孩子结点的层次小1.

堂兄弟的双亲不一定是兄弟关系。

5、二叉树

1)每个结点最多两棵子树。（二叉树不存在度数大于2的结点）

是有序树，左子树，右子树是顺序的，不能交换次序。

即使某个结点只有一个结点，也要确定其为左子树还是右子树。

2)二叉树的五种基本形态。

空二叉树

只有一个根结点

根结点只有左子树

根结点只有右子树

根结点左右都有子树。

3)斜树：

左斜树，所有结点都在左结点。

右斜树，所有结点都在右结点。

4)满二叉树

一颗二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子结点只是存在最下面一层。

K为深度 ，结点总数为（2**k）-1

 

 

5)     完全二叉树：(满二叉树是完全二叉树，但是完全二叉树不一定是满二叉树。）

若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的结点树都达到了最大数,在第k层的所有的结点都集中在左边,这就是完全二叉树.

完全二叉树由满二叉树引出.

K为深度(1<=k<=n\),则结点总数的最大值为2**k-1,当达到最大值的时候就是满二叉树.

 

 

 

 

6)二叉树的性质：

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^i -1个结点（i》=1） #例如第二层有两个结点.

性质2：深度为k的二叉树,至多有2**k-1个结点,一层:2-1   二层 4-1=1+2+3  三层8-1=1+2+4=7

性质3：对任何一颗二叉树T,如果其终端结点树为n0,度数为2的结点为n2,则有n0=n2+1(就是叶子树结点的树-1就等于度数为2的结点树.

证明:总结点数n=n1+n2+n3.

一棵树的分支数为n-1，因为除了根结点外。其余结点都有一个分支,n0+n1+n2-1.

分支数还等于n0*0+n1*1+n2*2,n2是2分支结点所以乘以2,2*n2+n1.

可得2*n2+n1=n0+n1+n2-1=>n2=n0-1

 

其它性质：

高度为k的二叉树,至少有k个结点

含有n(n>=1)的结点的二叉树高度至多为n。

含有n(n>=1)的结点树的二叉树的高度至多为n，最小为math.ceil（log2（n+1）），不小于对数值的最小整数， 向上取整。层次树是取整.

如果是8个结点,向上取整为4,为4层.

性质4:具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log.n)+1或者math.ceil(log2(n+1))

性质5:如果有一颗n个结点的完全二叉树(深度为性质4),结点按照层序编号.

如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲,如果i>1,则双亲是int（i/2），向下取整。就是子结点的编号整除2得到的就是父结点的编号，父结点如果是i，那么左孩子的结点就是2i，右结点是2i+1.

如果2i》n，则结点i无左孩子，即结点为叶子结点，否则其左孩子结点存在编号为2i

如果2i+1》n，则结点i无右孩子，不能说明结点i没有左孩子，否则右孩子的结点存在编号为2i+1.