最小生成树

最小生成树

定义

对于一张带权无向连通图，其生成树中权值总和最小的称为最小生成树。

类似地，最大生成树就是权值总和最大的生成树。

克鲁斯卡尔(kruskal)算法

kruskal算法是求最小生成树的经典算法，其时间效率和空间效率都很优秀且易于理解。

求最小生成树还有许多其他的算法，比如 Prim 以及 Boruvka。

kruskal 运用贪心思想，结合并查集，巧妙地解决了最小生成树问题。

其流程大概是这样的：

1. 对图中所有的边按照边权由小到大排序。

2. 遍历每一条边，对于边的端点 \(u\),\(v\),有两种情况：

   a. \(u\),\(v\) 已经在生成树中，此时如果再连接 \(u\),\(v\) 将会形成环，不满足生成树性质，所以直接跳过。

   b. 反之，将 \(u\),\(v\) 加入生成树中并统计答案。

对于如何查询两点是否已经在生成树中以及将两点加入到生成树中，可以利用并查集解决。

核心代码

void kruskal()
{
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
	{
        if(fnd(a[i].u)!=fnd(a[i].v))
        {
            pre[fnd(a[i].u)]=fnd(a[i].v);
            ans+=a[i].w;
        }
	}
}