数论的EX

既然是EX，那cost是多少

扩展欧几里得

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int ret=exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return ret;
}

扩展欧拉定理

扩展欧拉定理:

· 当\(a,m\)互质:\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(m)}(mod\ m)\)

· 当\(a,m\)不互质且\(b<\varphi(m)\)同余于它本身

· 当他两个不互质且\(b>=\varphi(m)\):\(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(m)+\varphi(m)}(mod\ m)\)
顺便提一嘴欧拉定理：\(a^{\varphi(m)}\equiv1(mod\ m)\)

扩展中国剩余定理

int gsc(int x,int y,int mo)
{
	int ret=0;
	while(y)
	{
		if(y&1) (ret+=x)%=mo;
		y>>=1;
		x=(x+x)%mo;
	}
	return ret;//龟速乘，防爆long long
}

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>mod[i]>>yu[i];
	    int ans=yu[1],M=mod[1],t=0,y=0;
	    for(int i=2;i<=n;i++)
	    {
	    	int rig=((yu[i]-ans)%mod[i]+mod[i])%mod[i];
	    	int gcd=exgcd(M,mod[i],t,y);
	    	if(rig%gcd!=0)
	    	{
	    		ans=-1;
	    		break;
			}
			t=gsc(t,rig/gcd,mod[i]);
			ans+=M*t;
			M=mod[i]/gcd*M;
			ans=(ans%M+M)%M;
		}
		cout<<ans<<'\n';	

扩展lucas

void fj(int x)
{
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			cc[++tot]={i,1};
			while(x%i==0)
			{
				cc[tot].val*=i;
				x/=i;
			}
		}
	}
	if(x>1) cc[++tot]={x,x};
}

int fat(int nn,int p,int k)
{
	if(!nn) return 1;
	int ret=1;
	for(int i=2;i<k;i++)
	{
		if(i%p) ret=ret*i%k;
	}
	ret=ksm(ret,nn/k,k);
	for(int i=2;i<=nn%k;i++)
	{
		if(i%p) ret=ret*i%k;
	}
	return ret*fat(nn/p,p,k)%k;
}

int inv(int a,int b)
{
	int x=0,y=0;
	exgcd(a,b,x,y);
	return (x+b)%b;
}
int C(int nn,int mm,int p,int k)
{
	if(nn<mm) return 0;
	int a=fat(nn,p,k),b=fat(mm,p,k),c=fat(nn-mm,p,k);
	int cnt=0;
	for(int i=p;i<=nn;i*=p) cnt+=nn/i;
	for(int i=p;i<=mm;i*=p) cnt-=mm/i;
	for(int i=p;i<=nn-mm;i*=p) cnt-=(nn-mm)/i;
	return a*inv(b,k)%k*inv(c,k)%k*ksm(p,cnt,k)%k;
}

int exlucas()
{
	fj(P);
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		yu[i]=1;
		int op=nx;
		for(int j=1;j<=mx;j++)
		{
			(yu[i]*=C(op,w[j],cc[i].pos,cc[i].val))%=cc[i].val;
			op-=w[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=tot;i++)
	{
		int mi=P/cc[i].val;
		ans+=yu[i]%P*(mi*inv(mi,cc[i].val)%P)%P;
	}
	ans=(ans+P)%P;
	return ans;
}