贪心算法

贪心算法 (Greedy Algorithm)

像“捡芝麻”一样，目光短浅，每一步都只做当前看起来最好的选择（局部最优）。一旦做出选择就绝不反悔，期望通过一系列局部最优拼凑出全局最优。

经典问题推演：找零钱问题

问题：用面值 {10, 5, 1} 的硬币凑出 18 元，要求硬币数量最少。

贪心策略：每次优先选面值最大的硬币。
执行过程：
选 10，剩余 8。
剩下的最大是 5，选 5，剩余 3。
剩下的最大是 1，连选 3 个 1，剩余 0。
结果：共 5 枚硬币。

活动选择问题 (Activity Selection Problem)

问题描述：假设有一个教室，需要在一天内安排尽可能多的活动。给定 n 个活动，每个活动都有一个开始时间和一个结束时间。同一个教室在同一时间只能进行一个活动（即活动时间不能重叠）。请问最多能安排多少个活动？

示例：输入活动列表 [(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (8,9)]（括号内为开始和结束时间），输出 3（因为可以选择 (1,4)、(5,7) 和 (8,9) 这三个互不重叠的活动）。

为什么用贪心算法？

如果用暴力穷举或动态规划，我们需要考虑所有可能的组合，时间复杂度极高。而贪心算法告诉我们：不需要全局搜索，只要每一步都做出当前看起来最好的选择（局部最优），就能顺理成章地达到全局最优。

核心思想：贪心策略的选择
对于区间调度问题，贪心的策略是：每次优先选择“结束时间最早”的活动。
直觉理解：越早结束，留给后续活动的时间就越多。
数学支撑：贪心算法要求问题具备“贪心选择性质”和“最优子结构”。可以严格证明：如果存在一个最优解，它一定包含当前结束时间最早的那个活动。

核心代码

#include <stdio.h>

// 定义活动结构体
typedef struct {
    int start;
    int end;
} Activity;

// 贪心算法求解活动选择问题
int activitySelection(Activity activities[], int n) {
    // 1. 贪心策略：按结束时间升序排序（假设排序已完成，此处省略排序代码）
    // sort(activities, n); 
    
    int count = 1;           // 至少可以安排第一个（结束最早）的活动
    int lastEnd = activities[0].end; // 记录上一个已选活动的结束时间
    
    // 2. 迭代做出贪心选择
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 如果当前活动的开始时间 >= 上一个活动的结束时间，说明不重叠
        if (activities[i].start >= lastEnd) {
            count++;                  // 做出选择，绝不反悔
            lastEnd = activities[i].end; // 更新最后结束时间
        }
    }
    return count;
}

int main() {
    Activity activities[] = {{1,4}, {3,5}, {0,6}, {5,7}, {8,9}};
    int n = sizeof(activities) / sizeof(activities[0]);
    printf("最多可安排的活动数为：%d\n", activitySelection(activities, n));
    return 0;
}

示例推演

以活动列表 [(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (8,9)] 为例：

第 1 步：预处理（排序）
目标：找出当前状态下的局部最优。
将所有活动按结束时间升序排列。排序后顺序不变：(1,4), (3,5), (0,6), (5,7), (8,9)。

第 2 步：第一次贪心选择
目标：选出第一个活动。
扫描列表，第一个活动是 (1,4)。
做出选择：安排 (1,4)。
更新状态：当前已占用时间到 4（lastEnd = 4），已选数量 count = 1。

第 3 步：第二次贪心选择
目标：在剩余活动中找下一个不冲突的。
检查 (3,5)：开始时间 3 < 4，冲突，跳过。
检查 (0,6)：开始时间 0 < 4，冲突，跳过。
检查 (5,7)：开始时间 5 >= 4，不冲突！
做出选择：安排 (5,7)。
更新状态：当前已占用时间到 7（lastEnd = 7），已选数量 count = 2。

第 4 步：第三次贪心选择
目标：继续向后扫描。
检查 (8,9)：开始时间 8 >= 7，不冲突！
做出选择：安排 (8,9)。
更新状态：当前已占用时间到 9（lastEnd = 9），已选数量 count = 3。
最终结果
遍历结束，最多可安排 3 个活动。

两大核心性质：
贪心选择性质：通过局部最优选择（选结束最早的），可以推导出全局最优解。
最优子结构性质：原问题的最优解包含了其子问题的最优解。
贪心 vs 动态规划：
贪心是自顶向下⬇️的迭代，做出选择后绝不反悔（无回溯），效率极高。
动态规划是自底向上⬆️的填表，会考虑所有子问题的组合。