背包问题动态规划

状态定义：dp[i][j] 表示前 i 件物品，在分配了总容量 j 时，能获得的最大价值。
这是动态分配的核心状态表，每一个格子都对应一个子资源规模下的最优分配方案。
状态转移方程（分配决策逻辑）：

沿用示例参数：
物品数量 n=4
重量数组 w=[2,3,4,5]
价值数组 v=[3,4,5,6]
背包总容量 C=8
状态定义：dp[i][j] = 前 i 件物品、背包容量为 j 时，能获得的最大价值。

一、完整 DP 状态表（最终结果）

二、逐行（逐阶段）动态分配推导过程
阶段 0：初始化（i=0，无物品）
没有任何物品可分配，无论容量多大，价值都为 0，这是递推的边界条件。
dp[0][j]=0,∀j∈[0,8]

阶段 1：处理第 1 件物品（w=2, v=3）

对每个容量 j 决策：是否分配容量给物品 1。
-当 j<2：容量不足，无法装入，继承上一阶段结果：dp[1][j]=dp[0][j]=0
-当 j≥2：取「不装」和「装」的最大值
dp[1][j]=max(dp[0][j], dp[0][j−2]+3)
例如 j=2：max(0, 0+3)=3；j=8：max(0, 0+3)=3

阶段 2：处理第 2 件物品（w=3, v=4）

j=0,1,2： 容量不足 3，继承上一行：dp[2][j]=dp[1][j]
j=3： max(dp[1][3]=3, dp[1][0]+4=4)⇒4
j=5： max(dp[1][5]=3, dp[1][2]+4=3+4=7)⇒7
j=8： max(dp[1][8]=3, dp[1][5]+4=3+4=7)⇒7

阶段 3：处理第 3 件物品（w=4, v=5）

在阶段 2 的基础上，重新决策是否分配容量给物品 3。
j=0∼3：容量不足 4，继承上一行
j=4： max(dp[2][4]=4, dp[2][0]+5=5)⇒5
j=6： max(dp[2][6]=7, dp[2][2]+5=3+5=8)⇒8
j=7： max(dp[2][7]=7, dp[2][3]+5=4+5=9)⇒9
j=8： max(dp[2][8]=7, dp[2][4]+5=4+5=9)⇒9

阶段 4：处理第 4 件物品（w=5, v=6）

在阶段 3 的基础上，重新决策是否分配容量给物品 4。
j=0∼4：容量不足 5，继承上一行
j=5： max(dp[3][5]=7, dp[3][0]+6=6)⇒7
j=8： max(dp[3][8]=9, dp[3][3]+6=4+6=10)⇒10

一、回溯判断规则
从右下角 dp[i=4][j=8] 开始，逆序逐个物品判断：
若 dp[i][j] == dp[i-1][j]：说明第 i 件物品没有装入，直接查看上一件物品，容量 j 不变。
若 dp[i][j] > dp[i-1][j]：说明第 i 件物品被装入了，记录该物品，将剩余容量减去该物品重量 j = j - w[i]，再查看上一件物品。
当 i=0（所有物品判断完毕）或 j=0（容量用完）时，回溯结束。

二、逐步骤回溯推导
第 1 步：判断第 4 件物品（w=5, v=6）
当前状态：i=4，j=8
dp[4][8] = 10，dp[3][8] = 9
10 ≠ 9 → 第 4 件物品装入背包
记录装入：4 号物品（重量 5，价值 6）
剩余容量：j = 8 - 5 = 3
继续判断上一件：i=3

第 2 步：判断第 3 件物品（w=4, v=5）
当前状态：i=3，j=3
dp[3][3] = 4，dp[2][3] = 4
4 = 4 → 第 3 件物品不装入
容量不变，继续判断上一件：i=2
第 3 步：判断第 2 件物品（w=3, v=4）
当前状态：i=2，j=3
dp[2][3] = 4，dp[1][3] = 3
4 ≠ 3 → 第 2 件物品装入背包
记录装入：2 号物品（重量 3，价值 4）
剩余容量：j = 3 - 3 = 0
容量已用完，回溯直接结束。

三、最终装箱方案
装入的物品
2 号物品：重量 3，价值 4
4 号物品：重量 5，价值 6
结果验证
总重量：3 + 5 = 8，恰好占满背包全部容量
总价值：4 + 6 = 10，与 DP 表最终计算的最大价值完全一致
在该示例中，这是唯一能达到最大价值 10 的装箱方案。