D-Beautiful Matrix_2025牛客暑期多校训练营6

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令 \(k=i+1,l=j+1\) ，得到 \(A_{i,j+1}-A_{i,j}\ge A_{i+1,j+1}-A_{i+1}\)。令 \(B_{i,j}=A_{i,j}-A_{i,j-1}\) ，得到 \(B_{i,j}\ge B_{i+1,j}\) 。

于是我们要构造的目标就变成了，第一行的和不超过 \(m\) ，每列从上至下单调不降，第一列为 0 的 \(n\times m\) 矩阵。假设某一列第一行为 \(x\) ，那么该列的方案数为 \(\dbinom {x+n-1}{x}\) 。设生成函数 \(F(x)=\sum_{i=0}^\infty\dbinom{i+n-1}{i}x^i\) 我们要求的答案即为 \(\sum_{i=0}^m[x^i]F^{n-1}(x)\) 。至此已经可以用多项式快速幂解决了，不过我们可以继续推导。

列出 \(F(x)\) 的封闭形式，

\[\begin{align} F(x)&=\sum_{i=0}^\infty\dbinom{i+n-1}{i}x^i\\ &=(1-x)^{-n} \end{align} \]

同理得到 \(F^{n-1}(x)\) 的级数形式，

\[\begin{align} F^{n-1}(x)&=(1-x)^{-n(n-1)}\\ &=\sum_{i=0}^\infty\dbinom{i+n^2-n-1}{i}x^i \end{align} \]

答案可化简为，

\[\begin{align} \sum_{i=0}^m[x^i]F^{n-1}(x)&=\sum_{i=0}^m\dbinom{i+n^2-n-1}{i}\\ &=\binom {m+n^2-n}{m} \end{align} \]

。

推导过程用到的公式：

封闭形式展开：

\[(1-x)^{-n}=\sum_{i=0}^\infty\binom {i+n-1}i x^i \]

组合恒等式：

\[\sum_{i=0}^m\binom {i+k}i=\binom {k+m+1}m \]