【题解】[LOJ #2985 / 洛谷 P5208]「WC2019」 I 君的商店【二分】

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题意

有一 01 序列，已知其 1 的个数的奇偶性。你一次询问可以给出两个下标集合 \(S,T\)（同一集合内部元素不能重复），花费 \(|S|+|T|\)，若 \(S\) 对应位置的和大于 \(T\)，交互库返回 \(0\)；若小于，返回 \(1\)；若等于，返回 \(0\) 或 \(1\)。用至多 \(5n+3\log n+O(1)\) 的代价确定序列。

题解

操作 1：任选 \(a,x,y\)，确定一些信息：

• 询问 \(\{x\},\{y\}\)，假设 \(x\leq y\)；
• 询问 \(\{x,y\},\{a\}\)：
  • \(\{x,y\}\leq\{a\}\)：\(x=0\)；
  • \(\{x,y\}\geq\{a\}\)：\(y\geq a\)，依靠这些信息得到一条单调不减的链；

这样会剩下一个数既没有确定是 \(0\)，又不在链上。\(5n+O(1)\) 的代价。

操作 2：已知一条长为 \(m\) 的单调不减的链，二分确定其 \(m-1\) 个值：

• 二分第一次出现 \(\{c_i,c_{i+1}\}\geq 1\) 的位置；
• 有可能 \(c_i=0,c_{i+1}=1\) 或 \(c_i=1,c_{i+1}=1\)；在前面的数都为 \(0\)，后面的数都为 \(1\)，\(c_i\) 不确定。

这样会只剩两个位置不确定。\(3\log n+O(1)\) 的代价。

操作 3：已知 \(x\oplus y\)，有一个 \(1\)，\(O(1)\) 得到 \(x,y\)：

• 若 \(x\oplus y=0\)，询问 \(\{x,y\},\{1\}\)；
• 若 \(x\oplus y=1\)，询问 \(\{x\},\{y\}\)。

于是问题解决。

总代价 \(5n+3\log n+O(1)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#include "shop.h"
using namespace std;
namespace Wallbreaker5th{

stack<int>unknown;
vector<int>v;
bool query(vector<int>s,vector<int>t){
    return ::query(s.data(),s.size(),t.data(),t.size());
}
vector<int>getchain(int n){
    vector<int>c;
    int b=unknown.top();
    c.push_back(b);
    unknown.pop();
    while(unknown.size()>=2){
        int x=unknown.top();unknown.pop();
        int y=unknown.top();unknown.pop();
        int a=c.back();
        if(query({y},{x}))swap(x,y);
        if(query({x,y},{a})){
            v[x]=0;
            unknown.push(y);
        }else{
            c.push_back(y);
            unknown.push(x);
        }
    }
    return c;
}
void bs(int n,int k,vector<int>c){
    int m=c.size();
    int one=c[m-1];
    int l=0,r=m-2,ans=m-1;
    while(l<=r){
        int mid=l+r>>1;
        if(query({one},{c[mid],c[mid+1]}))ans=mid,r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    for(int i=0;i<ans;i++)v[c[i]]=0;
    for(int i=ans+1;i<m;i++)v[c[i]]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)if(~v[i])k^=v[i];
    if(unknown.size()){
        int t=unknown.top(),r=c[ans];
        if(k)
            v[t]=!(v[r]=query({t},{r}));
        else
            v[t]=v[r]=query({one},{t,r});
    }else v[c[ans]]=k;
}

}

void find_price(int task_id, int n, int k, int ans[]){
    using namespace Wallbreaker5th;
    if(n==1){
        ans[0]=1;
        return;
    }
    if(n==2){
        if(!k)ans[0]=ans[1]=1;
        else ans[1-query({0},{1})]=1;
        return;
    }
    v=vector<int>(n,-1);
    while(unknown.size())unknown.pop();
    if(task_id==3){
        vector<int>c;
        for(int i=0;i<n;i++)c.push_back(i);
        if(query({n-1},{0}))reverse(c.begin(),c.end());
        bs(n,k,c);
        for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=v[i];
        return;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)unknown.push(i),ans[i]=0;
    vector<int>c=getchain(n);
    bs(n,k,c);
    for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=v[i];
}