UVA 10213 - How Many Pieces of Land ? （平面图欧拉公式）

题目链接 https://cn.vjudge.net/problem/UVA-10213

【题意】
一个椭圆上有N个点，把他们两两连接，问最多能将椭圆划分成多少个部分

【思路】
平面图的欧拉公式，V−E+F=2$V-E+F=2$，其中V表示顶点个数，E表示边的个数，F表示面的块数
减去最外面的无限大的面，所求 ans=E−V+1$ans=E-V+1$
然后就是计算V和E了，假设n≥4$n\ge 4$，从圆周上的一个点出发枚举一条对角线，左边有i$i$个点，右边有n−2−i$n-2-i$个点，将左右两边的点两两相连，就在这条对角线上得到i(n−2−i)$i(n-2-i)$个点，每个点会被重复算4次，再加上圆周上的n$n$个点所以

V=n+n4∑i=1n−3i(n−i−2)$$V=n+\frac{n}{4}\sum _{i=1}^{n-3}i(n-i-2)$$

然后计算E，一条对角线有i(n−2−i)$i(n-2-i)$个点，这条对角线上就会有i(n−2−i)+1$i(n-2-i)+1$条边，每条边会被重复计算两次，再加上原来圆弧上的n$n$条边和相邻结点相邻的n$n$条边，所以

E=2n+n2∑i=1n−3(i(n−i−2)+1)$$E=2n+\frac{n}{2}\sum _{i=1}^{n-3}(i(n-i-2)+1)$$

再借助于下面两个公式去化简

∑i=1ni=n(n+1)2$$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$$

∑i=1ni2=n(n+1)(2n+1)6$$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

得到的最终答案为

ans=124n(n3−6n2+23n−18)+1$$ans=\frac{1}{24}n(n^3-6n^2+23n-18)+1$$

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner input=new Scanner(System.in);
        int T=input.nextInt();
        for(int kase=1;kase<=T;++kase) {
            BigInteger n=input.nextBigInteger();
            BigInteger ans=n.pow(3);
            ans=ans.subtract(n.pow(2).multiply(BigInteger.valueOf(6)));
            ans=ans.add(n.multiply(BigInteger.valueOf(23)));
            ans=ans.subtract(BigInteger.valueOf(18));
            ans=ans.multiply(n);
            ans=ans.divide(BigInteger.valueOf(24));
            ans=ans.add(BigInteger.ONE);
            System.out.println(ans);
        }
        input.close();
    }
}