[AcWing 1126] 最小花费

乘积最大的路径

堆优化 dijkstra

复杂度 \(O(m \cdot log(n)) = 1 \times 10^5 \times log(2000) \approx 1.1 \times 10^6\)

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<double,int> PDI;

const int N = 1e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, sp, ep;
int h[N], e[N], ne[N], idx; 
double w[N];
double d[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, double c)
{
    e[idx] = b;
    w[idx] = c;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx ++;
}

void dijkstra(int sp)
{
    d[sp] = 1;
    priority_queue<PDI, vector<PDI>, less<PDI>> heap;
    heap.push({1, sp});
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        auto v = t.second;
        if (st[v])
            continue;
        st[v] = true;
        for (int i = h[v]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (d[j] < d[v] * w[i]) {
                d[j] = d[v] * w[i];
                heap.push({d[j], j});
            }
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        double w = 1.0 * (100 - c) / 100;
        add(a, b, w);
        add(b, a, w);
    }
    cin >> sp >> ep;
    dijkstra(sp);
    printf("%.8f\n", 100 / d[ep]);
}

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 与最短路的 \(dijkstra\) 不同之处：
   ① 距离数组 \(d\) 初始为 \(0\)，因为求的是乘积的最大值，\(0\) 乘任何数都为 \(0\)
   ② 采用大根堆，每次取出 \(d\) 最大的点
   ③ 距离更新时，采用的是 \(d[j] = d[v] \cdot w\)
2. 问题的转化
   设 \(w_i\) 为扣除手续费后剩余的比例，\(d_a\) 为 \(A\) 手中的钱，\(C\) 为 \(B\) 最终得到的钱，\(C = d_a \cdot w_1 \cdot w_2 \cdots w_k\)，\(C\) 为定值，要让 \(d_a\) 最小，只需让 \(f = w_1 \cdot w_2 \cdots w_k\) 最大，取对数可得，\(f = log(w_1) + log(w_2) + \cdots + log(w_k)\)，由于 \(0 < w_i < 1\)，\(log(w_i) < 0\)，可以对 \(f\) 取负号，即让 \(f' = (-log(w_1)) + (-log(w_2)) + \cdots + (-log(w_k))\) 最小，\((-log(w_i))\) 可以看作是权值为正的边，从而转换成非负权图的最短路，而在 \((-log(w_i))\) 取最小值的情况下， \(w_i\) 取的是最大值，在 \(dijkstra\) 的过程中，可直接用大根堆维护距离的最大值，\((-log(w_1)) + (-log(w_2)) = (-log(w_1 \cdot w_2))\)，距离的更新直接改为乘积即可