[AcWing 246] 区间最大公约数

线段树，转换为差分数组

单点修改，区间查询（和，最大公约数）

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5e5 + 10;

int n, m;
LL w[N];

struct Node
{
    int l, r;
    LL sum, d;    
} tr[N << 2];

void pushup(Node &u, Node &l, Node &r)
{
    u.sum = l.sum + r.sum;
    u.d = __gcd(l.d, r.d);
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}

void build(int u, int l, int r)
{
    if (l == r) {
        LL d = w[l] - w[l - 1];
        tr[u] = {l, l, d, d};
    }
    else {
        tr[u] = {l, r};
        int mid = l + r >> 1;
        build(u << 1, l, mid);
        build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
        pushup(u);
    }
}

void update(int u, int x, LL v)
{
    if (tr[u].l == tr[u].r) {
        LL d = tr[u].sum + v;
        tr[u] = {x, x, d, d};
    }
    else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (x <= mid)
            update(u << 1, x, v);
        else
            update(u << 1 | 1, x, v);
        pushup(u);
    }
}

Node query(int u, int l, int r)
{
    if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r)
        return tr[u];
    else {
        int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
        if (r <= mid)
            return query(u << 1, l, r);
        else if (l > mid)
            return query(u << 1 | 1, l, r);
        else {
            auto left = query(u << 1, l, r);
            auto right = query(u << 1 | 1, l, r);
            Node res;
            pushup(res, left, right);
            return res;
        }
    }
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cin >> w[i];
    build(1, 1, n);
    while (m --) {
        char op;
        int l, r; 
        cin >> op >> l >> r;
        if (op == 'Q') {
            auto left = query(1, 1, l);
            Node right = {0, 0, 0, 0};
            if (l + 1 <= r)
                right = query(1, l + 1, r);
            cout << abs(__gcd(left.sum, right.d)) << endl;
        }
        else {
            LL d;
            cin >> d;
            update(1, l, d);
            if (r + 1 <= n)
                update(1, r + 1, -d);
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 转换为差分数组
   \(gcd(a, b) = gcd(a, b - a)\)，证明如下：
   设 \(d_1 = gcd(a, b)\)，\(d_2 = gcd(a, b - a)\)
   ① \(d_1\) 能整除 \(a\) 和 \(b\)，\(d_1\) 能整除 \(b - a\)，\(d_1\) 是 \((a, b - a)\) 的一个约数，\(d_1 \leqslant d_2\)
   ② \(d_2\) 能整除 \(a\) 和 \(b - a\)，\(d_2\) 能整除 \(b\)，\(d_2\) 是 \((a, b)\) 的一个约数，\(d_1 \geqslant d_2\)
   由 ① ② 可知 \(d_1 = d_2\)，证明完毕
2. 线段树
   对于 \(gcd(a_l, a_{l+1}, \cdots, a_r)\)，可以转换为 \(gcd(a_l, a_{l+1} - a_{l}, \cdots, a_r - a_{r - 1})\)
   只需要能够访问出 \(a_l\) 的值，以及差分数组在区间 \([l + 1, r]\) 上的最大公约数
   对于 \(a_l\)，可以对差分数组求前缀和，线段树的节点还需要维护区间的和 \(sum\) 以及区间的最大公约数 \(d\) 这两个信息