[AcWing 239] 奇偶游戏

带边权的并查集

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;

int n, m;
int p[N], d[N];
unordered_map<int,int> s;

int get(int x)
{
    if (!s.count(x))
        s[x] = ++ n;
    return s[x];
}

int find(int x)
{
    if (p[x] != x) {
        int root = find(p[x]);
        d[x] ^= d[p[x]];
        p[x] = root;
    }
    return p[x];
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    n = 0;
    for (int i = 0; i < N; i ++)
        p[i] = i;
    int res = m;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int a, b;
        string type;
        cin >> a >> b >> type;
        a = get(a - 1), b = get(b);
        int t = 0;
        if (type == "odd")
            t = 1;
        int pa = find(a), pb = find(b);
        if (pa == pb) {
            if ((d[a] ^ d[b]) != t) {
                res = i - 1;
                break;
            }
        }
        else {
            p[pa] = pb;
            d[pa] = d[a] ^ d[b] ^ t;
        }
    }
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 类比前缀和的思想，用 $ s[r] $ 和 $ s[l - 1] $ 的奇偶性来快速判断 $ s[l $ ~ $ r] $ 中有奇数个 \(1\) 还是偶数个 \(1\)
   ① 若 \(s[r] 和 s[l - 1]\) 奇偶性相同，则说明 $ s[l $ ~ $ r] $ 中有偶数个 $ 1$
   ② 若 \(s[r] 和 s[l - 1]\) 奇偶性不同，则说明 $ s[l $ ~ $ r] $ 中有奇数个 $ 1$
2. 使用哈希表进行离散化
3. 对于 \(s[x]\) 和 \(s[y]\)，分为以下几种情况：
   ① 若 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 同属于一个集合，则通过 \(s[x]\)，\(s[y]\) 和根节点的关系来判断它们两个之间的关系，若都和根节点奇偶性相同，则说明 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性相同，若和根节点奇偶性不同，则说明 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性不同，若 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的关系和输入的关系不符，则出现矛盾
   ② 若 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 不属于同一个集合，则根据两者的奇偶性将两个集合合并

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扩展域的并查集

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;
const int Base = N / 2;

int n, m;
int p[N];
unordered_map<int,int> s;

int get(int x)
{
    if (!s.count(x))
        s[x] = ++ n;
    return s[x];
}

int find(int x)
{
    if (p[x] != x)
        p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

void merge(int a, int b)
{
    int pa = find(a), pb = find(b);
    p[pa] = pb;
}

void solve()
{
    cin >> n >> m;
    n = 0;
    for (int i = 0; i < N; i ++)
        p[i] = i;
    int res = m;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        int a, b;
        string type;
        cin >> a >> b >> type;
        a = get(a - 1), b = get(b);
        if (type == "even") {
            if (find(a + Base) == find(b)) {
                res = i - 1;
                break;
            }
            merge(a, b);
            merge(a + Base, b + Base);
        }
        else {
            if (find(a) == find(b)) {
                res = i - 1;
                break;
            }
            merge(a, b + Base);
            merge(a + Base, b);
        }
    }
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

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1. 每个集合不再是每一个点，而是扩展到了特定的含义，对于 \(s[x]\) 和 \(s[y]\)，则会对应四条语句：
   ① \(s[x]\) 是奇数
   ② \(s[x]\) 是偶数
   ③ \(s[y]\) 是奇数
   ④ \(s[y]\) 是偶数
   当 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性相同时，将 ① ③ 合并，② ④ 合并
   当 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性不同时，将 ① ④ 合并，② ③ 合并
   出现矛盾的情况：
   当 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性相同，但 ① ④ 在同一个集合，② ③ 在同一个集合，则出现矛盾
   当 \(s[x]\) 和 \(s[y]\) 的奇偶性不同，但 ① ③ 在同一个集合，② ④ 在同一个集合，则出现矛盾