[AcWing 4487] 最长连续子序列

等价变形 + 前缀和 + 单调栈 + 二分

---

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 1e6 + 10;

int n, res;
int a[N];
LL s[N];
vector<int> stk;

void solve()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        a[i] -= 100;
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    stk.push_back(0);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        if (s[stk.back()] > s[i])
            stk.push_back(i);
        else if (s[stk.back()] < s[i]) {
            int l = 0, r = stk.size() - 1;
            while (l < r) {
                int mid = l + r >> 1;
                if (s[stk[mid]] < s[i])
                    r = mid;
                else
                    l = mid + 1;
            }
            res = max(res, i - stk[l]);
        }
    }
    cout << res << endl;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    solve();

    return 0;
}

---

1. 等价变换
   对于式子 \(\sum_{i=l}^{r}a_i > 100 \times (r - l + 1)\) 做等价变形得到 \(\sum_{i=l}^{r}(a_i - 100) > 0\)
2. 前缀和
   令 \(b_i = a_i - 100\)，上式变为 \(\sum_{i=l}^{r}b_i > 0\)，用 \(s_i\) 表示 \(b\) 的前 \(i\) 项的前缀和，得到 \(s_r - s_{l-1} > 0\)，即 \(s_r > s_{l-1}\)
3. 单调栈
   循环区间的右端点，\(r = 1\) ~ \(n\)，对于每一个 \(r\) 的取值，找到小于 \(r\) 的，下标最小的，且满足 \(s_{l-1} < s_r\) 的 \(l - 1\)，区间的长度为 \(r - (l - 1)\)
   构造单调递减的单调栈，原因：对于 \(s_i\) 和 \(s_{i+1}\)，如果 \(s_i \leqslant s_{i+1}\)，由于要找的是满足小于一个值的，且下标最小的位置，\(s_i\) 一定是优于 \(s_{i+1}\) 的，也就是说，只有当有比栈顶元素更小的值时，才会入栈，从而保证了栈是单调递减的
4. 二分
   在单调栈中二分查找出满足 \(s_i < s_r\) 的最小的 \(i\)，区间 \([i+1,r]\) 即为满足条件的一个区间