[AcWing 532] 货币系统

---

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;

int v[N];
int f[M];

int main()
{
	int T; 
	cin >> T;
	while (T --) {
		int n;
		cin >> n;
		for (int i = 1; i <= n; i ++)	cin >> v[i];
		sort(v + 1, v + 1 + n);
		int m = v[n];
		memset(f, 0, sizeof f);
		f[0] = 1;
		int res = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i ++) {
			if (!f[v[i]])	res ++;
			for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
				f[j] += f[j - v[i]];
		}
		cout << res << endl;
	}
	return 0;
}

---

1. 性质
   ① \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 一定都可以被表示出来
   ② 在最优解中，\(b_1,b_2,\cdots,b_m\) 一定都是从 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 中选择出来的
   证明：如果只有 \(b_i\) 不是从 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 中选择出来的，那么 \(b_i\) 一定可以用 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 表示，而 \(a_i\) 又可以用 \(b_j\) 表示，从而 \(b_i\) 一定可以用其他的 \(b_j\) 表示，\(b_i\) 一定不在最优解中
   ③ \(b_1,b_2,\cdots,b_m\) 一定不能被其他 \(b_i\) 表示出来
2. 状态表示
   \(f[i][j]\) 表示从前 \(i\) 种物品中选，并且总体积等于 \(v[i]\) 的方案数
3. 状态计算 (类比完全背包)
   \(f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i][j - v[i]]\)
4. 最优策略
   ① 若 \(f[i][j] = 0\)，需要选上 \(v[i]\)
   ② 若 \(f[i][j] > 0\)，不需要选 \(v[i]\)