[AcWing 272] 最长公共上升子序列

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#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 3010;

int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)	cin >> a[i];
	for (int i = 1; i <= n; i ++)	cin >> b[i];
	for (int i = 1; i <= n; i ++) {
		int maxv = 1;
		for (int j = 1; j <= n; j ++) {
			f[i][j] = f[i - 1][j];
			if (a[i] == b[j])	f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
			if (b[j] < a[i])	maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1);
		}
	}
	int res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)	res = max(res, f[n][i]);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

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1. 状态表示
   \(f[i][j]\) 表示所有在 \(a[1...i]\) 和 \(b[1...j]\) 中都出现过，且以 \(b[j]\) 为结尾的公共上升子序列的最大值
2. 状态计算
   ① \(a[i]\) 不包含在公共上升子序列中，\(f[i][j] = f[i - 1][j]\)
   当 \(a[i] = b[j]\) 时存在以下情况：
   ② 公共上升子序列的倒数第二个数不存在，\(f[i][j] = 1\)
   ③ 公共上升子序列的倒数第二个数是 \(b[1]\)，\(f[i][j] = f[i - 1][1] + 1\)
   \(\cdots \cdots\)
   ④ 公共上升子序列的倒数第二个数是 \(b[j - 1]\)，\(f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1\)
3. 等价优化
   状态计算中，除 ① 外其他情况的前提为 \(a[i] = b[j]\)
   当 \(a[i]\) 固定时，② 以后的更新依赖的是 \(max(f[i - 1][1], f[i - 1][2], \cdots , f[i - 1][j - 1])\) ，而这个最大值 \(maxv\) 可以记录下来，每次 \(b[j] < a[i]\) 时，\(maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1)\) (\(+1\) 是因为后续 \(a[i] = b[j^{'}]\) 时才会用到 \(maxv\))