[AcWing 1027] 方格取数

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#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 20;

int n, a, b, c;
int s[N][N];
int f[2 * N][N][N];

int main()
{
	cin >> n;
	while (cin >> a >> b >> c, a || b || c)		s[a][b] = c;
	for (int k = 2; k <= 2 * n; k ++)
		for (int i1 = 1; i1 <= n; i1 ++)
			for (int i2 = 1; i2 <= n; i2 ++) {
				int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
				if (j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n) {
					int t = s[i1][j1];
					if (i1 != i2)	t += s[i2][j2];
					int &x = f[k][i1][i2];
					x = max(x, f[k - 1][i1 -1][i2 - 1] + t);
					x = max(x, f[k - 1][i1 - 1][i2] + t);
					x = max(x, f[k - 1][i1][i2 - 1] + t);
					x = max(x, f[k - 1][i1][i2] + t);
				}
			}
	cout << f[2 * n][n][n] << endl;
	return 0;
}

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1. 状态表示
   $ k = i_1 + j_1 = i_2 + j_2 $ ，可以理解为当前在 \(i + j = k\) 的格子，
   \(f[k][i_1][i_2]\) 表示所有从 \((1,1),(1,1)\) 分别走到 \((i_1, k - i_1),(i_2, k - i_2)\) 的路径的最大值
2. 状态计算
   用 \(t\) 来表示当前格子需要加的值
   ① \(i_1 = i_2\) ，同一个格子只能被加一次，\(t = s[i_1][k - i_1]\)
   ② \(i_1 \neq i_2\) ，两个格子都加，\(t = s[i_1][k - i_1] + s[i_2][k - i_2]\)
   \(f[k][i_1][i_2]\) 的更新：
   ① 第一条向下，第二条向下，\(f[k][i_1][i_2] = f[k - 1][i_1 - 1][i_2 - 1] + t\)
   ② 第一条向下，第二条向右，\(f[k][i_1][i_2] = f[k - 1][i_1 - 1][i_2] + t\)
   ③ 第一条向右，第二条向下，\(f[k][i_1][i_2] = f[k - 1][i_1][i_2 - 1] + t\)
   ④ 第一条向右，第二条向右，\(f[k][i_1][i_2] = f[k - 1][i_1][i_2] + t\)
   综上，\(f[k][i_1][i_2]\) 取上述四种情况的最大值