[AcWing 104] 货仓选址

---

点击查看代码

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, res;
int a[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++)	cin >> a[i];
	sort(a, a + n);
	int t = a[n / 2];
	for (int i = 0; i < n; i ++)	res += abs(t - a[i]);
	cout << res << endl;
	return 0;
}

---

1. 算法思路
   最优位置是所有数的中位数，分为奇数个和偶数个两种情况：
   ① 若数的个数是奇数，中位数唯一
   ② 若数的个数是偶数，取中间的两个数其中之一即可
2. 最优性证明
   设距离之和为 \(f\) ，\(x_i\) 为第 \(i\) 个点的坐标，$ x_1 \leqslant x_2 \leqslant \cdots \leqslant x_n $ ，
   $ f = |x_1 - x| + |x_2 - x| + \cdots + |x_n - x| = (|x_1 - x| + |x_n - x|) + (|x_2 - x| + |x_{n-1} - x| + \cdots ) \geqslant (x_n - x_1) + (x_{n-1} - x_2) + \cdots $
   取等号的前提是 \(x\) 位于区间 \([x_1,x_n], [x_2,x_{n-1}], \cdots\) 的内部，\(x\) 位于中位数的位置