[AcWing 282] 石子合并

复杂度 \(O(n^{3})\)

总体复杂度 \(300^{3} = 2.7 \times 10^{7}\)

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 300 + 10;

int n;
int s[N];
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)	cin >> s[i];
	for (int i = 1; i <= n; i ++)	s[i] += s[i - 1];
	for (int len = 2; len <= n; len ++)
		for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++) {
			int l = i, r = i + len - 1;
			f[l][r] = 1e9;
			for (int k = l; k < r; k ++)
				f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
		}
	cout << f[1][n] << endl;
	return 0;
}

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1. 状态表示
   $ f[i][j] $ 表示所有将第 \(i\) 堆石子到 \(j\) 堆石子合并成一堆石子的合并方法的最小值
2. 状态计算
   在 \([i \ , \ j]\) 区间选一条分界线 \(k\) ，把区间分成两半
   $ f[i][j] = min(f[i][k] + f[k + 1][j] + s[j] - s[i - 1]) $ ，其中 $ k = i \ , i + 1 \ , \cdots \ , j - 1$ (\(\ k < j\) 是因为要保证右半边至少有一堆石子)，\(s[j] - s[i - 1]\) 是使用前缀和求得的 \([i, j]\) 石子的总重量