[AcWing 902] 最短编辑距离

复杂度 $ O(n^{2}) $

总体复杂度 $ 1000^{2} = 1 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010; 
int n, m;
char a[N], b[N];
int f[N][N];

int main()
{
	cin >> n >> a + 1;
	cin >> m >> b + 1;
	for (int i = 0; i <= m; i ++)	f[0][i] = i;
	for (int i = 0; i <= n; i ++)	f[i][0] = i;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		for (int j = 1; j <= m; j ++) {
			f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
			if (a[i] == b[j])	f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
			else	f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
		}
	cout << f[n][m] << endl;
	return 0;
}

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1. 状态表示
   $ f[i][j] $ 表示将字符串 \(a\) 的前 \(i\) 个字母变成字符串 \(b\) 的前 \(j\) 个字母所需要的最小操作次数
2. 状态转移
   \(f[i][j]\) 的更新分为三种情况：
   ① 字符串 \(a\) 删除 \(a[i]\) ，问题等价于将字符串 \(a\) 的前 \(i - 1\) 个字母变成字符串 \(b\) 的前 \(j\) 个字母所需要的最小操作次数再加上删除这一步操作，\(f[i][j] = f[i - 1][j] + 1\)
   ② 字符串 \(a\) 后面插入 \(b[j]\) ，问题等价于将字符串 \(a\) 的前 \(i\) 个字母变成字符串 \(b\) 的前 \(j - 1\) 个字母所需要的最小操作次数再加上插入这一步操作，\(f[i][j] = f[i ][j - 1] + 1\)
   ③ 将 \(a[i]\) 替换为 \(b[j]\) ，问题等价于将字符串 \(a\) 的前 \(i - 1\) 个字母变成字符串 \(b\) 的前 \(j - 1\) 个字母所需要的最小操作次数再加上替换这一步操作，当 \(a[i] = b[j]\) 时，替换这一步是不需要的，所有要再细分为两种情况：
   如果 \(a[i] = b[j]\) ，\(f[i][j] = f[i - 1][j - 1]\)
   如果 \(a[i] \neq b[j]\) ，\(f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + 1\)
3. 初始化
   ① \(f[0][j]\) 表示将空字符串 \(a\) 变成长度为 \(j\) 的字符串 \(b\) ，需要 \(j\) 次插入操作
   ② \(f[i][0]\) 表示将长度为 \(i\) 的字符串 \(a\) 变成空字符串 \(b\) ，需要 \(i\) 次删除操作