[AcWing 896] 最长上升子序列 II

贪心 + 二分 复杂度 $ O(n \cdot log(n)) $

总体复杂度 $ 1 \times 10^{5} \times log(1 \times 10^{5} ) \approx 1.66 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
int a[N], q[N];

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++)	cin >> a[i];
	int len = 0;
	for (int i = 0; i < n; i ++) {
		int l = 0, r = len;
		while (l < r) {
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (q[mid] < a[i])	l = mid;
			else	r = mid - 1;
		}
		len = max(len, r + 1);
		q[r + 1] = a[i];
	}
	cout << len << endl;
	return 0;
}

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1. $ q[i] $ 代表长度为 $ i $ 时结尾的最小值，$ q[i] $ 严格单调递增，证明：
   如果 $ q[i] >= q[i + 1] $ ，那么长度为 $ i + 1 $ 的序列一定存在一个长度为 $ i $ 的子序列 ，$ q^{'} [i] < q[i + 1] <= q[i] $ ，与 $ q[i] $ 的定义矛盾；
2. 算法思路：每次使用二分找到长度最大，且结尾元素小于 \(a[i]\) 的 \(q[j]\) ，并用 \(a[i]\) 更新 \(q[j+1]\) (一定满足 $ q[j] < a[i] <= q[j + 1] $ ，所以可以用 \(a[i]\) 更新 \(q[j+1]\) )
3. 二分的区间为 \([0,len]\) ，使用二分模板，\(l = mid\) 所以要 \(mid = l + r + 1 >> 1\) ，二分的结果是 $ l = r = $ 满足条件的 \(q[j]\) 的索引 \(j\)