[AcWing 3] 完全背包问题

1. 朴素做法（会超时）

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++)
            for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++)
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

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1. $ f[i][j] $ 需要更新的情况：
   选 \(k\)（\(k\) 可以为 \(0\)）个第 \(i\) 个物品，前提是能够装得下 \(k\) 个第 \(i\) 个物品，也就是 \(j >= k \cdot v[i]\)，在这种情况下，还需要在前 \(i - 1\) 个物品中选择，背包容量为 \(j - k \cdot v[i]\)，也就是 \(f[i - 1][j - k \cdot v[i]]\)，最后的 $f[i][j] = f[i - 1][j - k \cdot v[i]] + k \cdot w[i] $
2. 状态转移：$ f[i][j] = max( f[i - 1][j - k \cdot v[i]] + k \cdot w[i] )$ $ (k = 0, 1, 2, \cdots ,k') \ (k' \cdot v[i] <= j) $

2. 优化（二维数组）

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (j >= v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

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1. 来看下面两个状态转移的方程
   $ f[i][j] = max( f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i],f[i - 1][j - 2 \cdot v[i]] + 2 \cdot w[i], \cdots) $ ，
   $ f[i][j - v[i]] = max(f[i - 1][j - v[i]], f[i - 1][j - 2 \cdot v[i]] + v[i] + \cdots) $ ，
   可以发现，$ f[i][j] $ 从第二项开始，和 $ f[i][j - v[i]] $ 从第一项开始，差的都是 $ w[i] $ ，依据此性质，可将状态转移方程变为：
   $ f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i]) $

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3. 一维数组进一步优化

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)   cin >> v[i] >> w[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

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1. 仔细观察以下两个状态转移方程：
   01背包：$ f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i - 1][j-v[i]] + w[i]) $ ，
   完全背包：$ f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-v[i]] + w[i]) $
   可以发现区别在于：01背包更新用的是 $ f[i-1][j - v[i]] $，而完全背包更新用的是 $ f[i][j-v[i]] $，在用一维数组做优化时，由于01背包问题更新用的是 $ i - 1 $的状态，需要将 \(j\) 从后往前枚举，以免影响后续 \(j'\) 的更新，而完全背包更新用的是 $ i $ 的状态，也就是说必须要让 \(j\) 从前往后枚举，让后续的 $ j' $ 受到 \(j\) 的影响更新