[AcWing 892] 台阶-Nim游戏

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#include<iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        if (i % 2)  res ^= x;
    }
    if (res)    puts("Yes");
    else    puts("No");
    return 0;
}

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1. 结论：对奇数阶台阶，如果 $ a_1 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $，则先手必胜，否则，如果 $ a_1 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n = 0 $，先手必败
   证明：由经典 Nim 游戏可知，先手和后手在奇数阶台阶上的操作等价于经典的 Nim 游戏，
   如果 $ a_1 \oplus a_3 \oplus \cdots \oplus a_n = x \neq 0 $，则先手在奇数阶台阶可以立于不败之地，如果后手选择偶数阶台阶，将一定数量的石子放到下一阶台阶，那么先手可以在下一回合将后手放的石子放到再下一个台阶，这样就可以保证奇数阶台阶不会受到偶数阶台阶的影响，最终后手必败，同理，先手必败的情况不再解释；
2. 选择奇数阶而不选择偶数阶的原因：
   假如对手处于偶数台阶的异或为 $ 0 $ 的局面，他可以通过把第一个台阶的所有石子全部放到地面上，而轮到我们的时候就只能破坏这个异或为 $ 0 $ 的局面（因为不能移动第 $ 0 $ 个台阶也就是地面，只能移动其他台阶的石子），把必胜的局面（异或为非 $ 0 $）给了对手。