[AcWing 888] 求组合数 IV

---

点击查看代码

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
const int N = 5e3 + 10;
int primes[N], cnt, sum[N];
bool st[N];

void get_primes(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (!st[i])     primes[cnt ++] = i;
        for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++) {
            st[primes[j] * i] = true;
            if (i % primes[j] == 0)     break;
        }
    }
}
int get(int n, int p)
{
    int res = 0;
    while (n) {
        res += n / p;
        n /= p;
    }
    return res;
}
vector<int> mul(vector<int> a, int b)
{
    vector<int> res;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); i ++) {
        t += a[i] * b;
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (t) {
        res.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int a, b;
    cin >> a >> b;
    get_primes(a);
    for (int i = 0; i < cnt; i ++) {
        int p = primes[i];
        sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
    }
    vector<int> res;
    res.push_back(1);
    for (int i = 0; i < cnt; i ++)
        for (int j = 0; j < sum[i]; j ++)
            res = mul(res, primes[i]);
    for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i --) {
        cout << res[i];
    }
    return 0;
}

---

1. 由算术基本定理可知，$ n = P_1^{\alpha_1} \cdot P_2^{\alpha_2} \cdots P_k^{\alpha_k} $ ， $ C_a^{b} = \frac{a!}{b! \ (a-b)! } $ ，$ C_a^{b} \ , \ a! , \ b! , \ (a - b)! $ 都可以用小于 $ a $ 的质数进行分解，最后只需要统计分解出来的这些质数的次方个数；
2. 对于需要分解的 $ n! $ ，$ P_i $ 的次数 $ \alpha_i $ 可以用 $ \alpha_i = \left \lfloor \frac{n}{P_i} \right \rfloor + \left \lfloor \frac{n}{P_i^{2}} \right \rfloor + \cdots + \left \lfloor \frac{n}{P_i^{t}} \right \rfloor $ 计算，其中 $ P_i^{t} $ 是小于 $ n $ 的最大次方数；（例如 $ n = 9 , \ P = 3 $，则 $ n! = 362880, \ \alpha = 3 + 1 = 4 $，对于这个特例的解释是：1 ~ 9 中的数，3、6、9 含有因子 3，9 含有因子 9，3 + 1 = 4）（实际上就是 $ 1 $ ~ $ n $ 中有多少个数是 $ P_i $ 的倍数，对于任意一个 \(1\) ~ \(n\) 的数，$ i > 2 $ 时，是 $ P_i^{t} $ 的倍数，也必然是 $ P_i^{t - 1} $ 的倍数，最后的总次数 $ t $ 体现在有 $ t $ 个 $ 1 $ 相加）
3. 使用高精度乘法模板进行计算；