[AcWing 885] 求组合数 I

递推 复杂度 $ O(n^{2}) $

总体复杂度 $ 2000^{2} = 4 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 2e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
int c[N][N];

void init()
{
    c[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++)
        for (int j = 0; j <= i; j ++) {
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
        }

}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    init();
    while (n --) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        printf("%d\n", c[a][b]);
    }
    return 0;
}

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1. 组合数通项公式 $ C_m^{n} = \frac{m!}{n! (m - n)!} $
2. 组合数递推公式 $ C_m^{n} = C_{m - 1}^{n - 1} + C_{m - 1}^{n} $
   证明：从 $ m $ 个不同的数中取 $ n $ 个，第 $ m $ 个数如果取的话有 $ C_{m - 1}^{n - 1} $ 种取法 ，如果不取有 $ C_{m - 1}^{n} $ 种取法；
3. 先计算出来所有的组合数，每次求 $ C_{a}^{b} $ 只需要访问即可， $ C_{m}^{0} = 1 \ (m = 0, 1, 2 \cdots)$ ；