[AcWing 876] 快速幂求逆元

复杂度 $ O(log(k)) $ （k 是指数）

总体复杂度 $ 10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL qmi(int a, int k, int p)
{
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1)  res = res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, p;
        scanf("%d %d", &a, &p);
        if (a % p == 0)  puts("impossible");
        else    printf("%lld\n", qmi(a, p - 2, p));
    }
    return 0;
}

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1. 乘法逆元
   
   用 $ x $ 表示 $ b $ 的逆元，证明如下：在 $ \bmod m $ 的情况下， $ \frac{a}{b} \equiv a \times x \rightarrow b \times \frac{a}{b} \equiv a \times b \times x \rightarrow a \equiv a \times b \times x \rightarrow b \times x \equiv 1 $
   由费马小定理：如果 $ p $ 是一个质数，而整数 $ a $ 不是 $ p $ 的倍数，则有 $ a^{p - 1} \equiv 1 \ (\ \bmod p) $
   可得 $ b^{p-1} = b \times b^{p-2} \equiv 1 $ ，在上面已经推出 $ b \times x \equiv 1 $ ，故 $ b^{p-2} $ 即为 $ b $ 的逆元 $ x $
2. 快速幂模板
   在 $ a \bmod p = 0 $ 时输出 "impossible"；
   否则就用快速幂求 $ a^{p-2} \bmod p $ 的值；