[AcWing 872] 最大公约数

欧几里得算法（辗转相除法）

复杂度 $ O(log(n)) $

总体复杂度 $ 10^{5} \times log(2 \times 10^{9}) \approx 4 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (n --) {
        int a, b;
        scanf("%d %d", &a, &b);
        printf("%d\n", gcd(a, b));
    }
    return 0;
}

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1. a, b 的最大公约数记为 \((a, \ b)\)，a 能整除 b 记作 $a \mid b $；
2. 重要性质： \((a, \ b) = (b , \ a \bmod b)\)，证明如下：
   ① $ a \bmod b = a - \left \lfloor \frac a{b} \right \rfloor \cdot b = a - c \cdot b $；
   ② 如果 $ d \mid a $， $ d \mid b $，那么 $ d \mid (a \cdot x + b \cdot y) $；
   ③ \((b , \ a \bmod b)\) = \((b , \ a - c \cdot b)\)，即证 \((a, \ b) = (b , \ a - c \cdot b)\)
   从左边推右边：设 $ d $ 为 $ a, \ b $ 的任一公约数，$ d \mid a $， $ d \mid b $，则由 ② ，取 $ x = 1, \ y = -c $，可推出 $ d \mid (a - c \cdot b) $；
   从右边推左边：设 $ d $ 为 $ b, \ a - c \cdot b $ 的任一公约数, $ d \mid b $， $ d \mid (a - c \cdot b) $，则由 ②，取 $ x = c, \ y = 1 $，则 $ d \mid (c \cdot b \ + \ a - c \cdot b) $，即 $ d \mid a $；
3. $ x \bmod 0 = x $