[AcWing 867] 分解质因数

试除法 复杂度 $ O(log(n)) $ ~ $ O(\sqrt{n}) $

$ 100 \times log(2^{31}) = 31 \times 100 \times log(2) = 3100 $ < 总体复杂度 $ < 100 \times \sqrt{2^{31}} \approx 4.6 \times 10^{6} $

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#include<iostream>

using namespace std;

void divide(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++) {
        if (n % i == 0) {
            int s = 0;
            while (n % i == 0) {
                n /= i;
                s ++;
            }
            printf("%d %d\n", i, s);
        }
    }
    if (n > 1)	printf("%d %d\n", n, 1);
    cout << endl;
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n --) {
        int x;
        cin >> x;
        divide(x);
    }
    return 0;
}

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1. 算术基本定理（唯一分解定理）
   任何一个大于 $ 1 $ 的自然数 $ N $，如果 $ N $ 不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积 $ N = P_1^{\alpha_1} * P_2^{\alpha_2} * \cdots * P_n^{\alpha_n} $，这里 $ P_1 < P_2 < \cdots < P_n $ 均为质数，指数 \(\alpha_i\) 是正数；
2. 算法思路：枚举 i 从 2 到 $ \sqrt{n} $ ，如果 n % i == 0，就一直用 n 除以 i，求出来 i 的指数，并用 s 来记录，如果最后 n 大于 1，则此时的 n 是大于 $ \sqrt{n} $ 的那个质因数；
3. 注意以下几个问题：
   ① 如果 n % i == 0 的话，可以保证 n 中已经没有了 2 ~ i - 1 的因子，同样也保证了 i 中也没有了 2 ~ i - 1 的因子；（能满足 n % i == 0 的 i 一定是质数）
   ② n 最多有一个大于 $ \sqrt{n} $ 的因子，因为如果有两个大于 $ \sqrt{n} $ 的因子，那这两个因子的乘积会大于 n；