数论-- 欧几里得算法，扩展欧几里得算法

欧几里得算法(gcd)

就是辗转相除法

作用：求gcd(a,b)

公式：

\[gcd(a,b) = gcd(b,a\%b) \]

写法1：

int gcd(int a , int b ){
    return !b ? a : gcd(b, a % b);
}

写法2 :位运算(超快) (a,b不能为0)

int gcd(int a , int b){
	while(b ^= a ^= b ^= a %= b);
	return a;
}

详解看这里

扩展欧几里得算法(exgcd)

用途：1.求二元一次方程的特解，通解 2.求乘法逆元

裴蜀定理：

对于任意正整数 \(a\) , \(b\) ，一定存在整数 \(x\) , \(y\) ,使得

\[ax+by == gcd(a,b) \]

且对于任意 \(x\) ,\(y\)， \(ax+by\) 一定是d的倍数 [d为gcd(a,b)]

扩展欧几里得算法的作用：

exgcd提供了一种算法，对于任意\(a,b\)，都能求出 \(ax+by=d\) 的解 \(x,y\)
顺便还能求出gcd

int exgcd( int a , int b , int &x , int &y ){
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int ans = exgcd( b , a % b , x , y );
    int temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return ans;
}

解释：
讲的很清晰

通解：待补