二值选择模型（Probit与Logit模型）

线性概率模型

对于个体i

• Di=1事件发生（例如被录取，购买活动发生，球队获胜）
• Di=0事件不发生（例如未被录取，购买活动未发生，球队未获胜）

将虚拟变量（哑变量）Di与解释变量的关系表示为如下线性 回归模型

 是线性模型，但概率在哪里体现？

可以证明: 虚拟变量的期望 = 虚拟变量取值为1的概率（事件发生的概率）

假设虚拟变量D取值为1的概率为π，取值为0的概率为1-π

 对于个体i（假设Xi固定）

对于个体i（假设Xi随机）

 误差项

 

线性概率模型的缺点

由于是线性模型，对于某些X的取值E(D)会超出1或小于0！ （事件发生的概率会大于1或小于0！）

 建立非线性关系，将E(D)的取值限制在[0,1]

Probit与Logit模型

引入潜变量(latent variable)

 

 常用的两种εi的累积分布函数

标准正态分布累积分布函数

 Probit模型：

 

Logistic累积分布函数：

 Logit模型：

 

利用累积分布函数F将线性概率模型压缩到了[0,1]

 

参数的估计

 如果各个观测之间相互独立，则得到k个Di=1，n-k个Di=0的观 测的概率为：

Probit与Logit函数的比较 

1. 实际中，通常会得到很接近的边际效应（解释变量增加1 单位引起事件发生概率的变化）
2. 应用中，对于二者的选择通常比较随意，因为使用不同模 型得到的结论基本相同