【转】欧拉函数

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欧拉函数直接计算公式

　　欧拉函数的定义: E（N）= ( 区间[1,N-1] 中与 N 互质的整数个数).

　　对于积性函数 F（X*Y），当且仅当 GCD（X，Y）= 1 时， F（X*Y） = F（X）* F（Y）

　　任意整数可因式分解为如下形式：

　　　 $N = p{_{1}}^{e_{1}} \cdot p{_{2}}^{e_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{e_{k}}$ 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　所以

　　　　 $E(N) = E(p_{1}^{e_{i}} * p_{2}^{e_{2}} * ... * p_{k}^{e_{k}} )$

　　因为欧拉函数 E（X）为积性函数，所以

　　　　 $E(N)= E(p_{1}^{e_{i}} ) * E(p_{2}^{e_{2}} )* ... * E(p_{k}^{e_{k}} )$

　　对于 $E(p_{i}^{e_{i}} )$ ，我们知道因为pi 为质数，所以 [ 1, pi-1 ] 区间的数都与 pi 互质

　　对于区间[ 1, $p_{i}^{e_{i}}$ ] ，共有 $p_{i}^{e_{i}}$ 个数，因为 $p_{i}^{e_{i}}$ 只有一个质因子，

　　所以与 $p_{i}^{e_{i}}$ 约数大于1 的必定包含质因子 $p_{i}$ ，其数量为 $\frac{p_{i}^{e_{i}}}{ p_{i}}$

　所以　　 $E( p_{i}^{e_{i}}) = p_{i}^{e_{i}} - \frac{p_{i}^{e_{i}}}{ p_{i}}$ 　

　　又 E（N）为积性函数，所以可得：

　　　 $E( N ) = \prod_{i=1}^{k} ( p_{i}^{e_{i}}-p_{i}^{e_{i}-1} ) = \prod_{i=1}^{k} ( (p_{i}-1)*p_{i}^{e_{i}-1} )$ 　

　　又因为 $N = p{_{1}}^{e_{1}} \cdot p{_{2}}^{e_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{e_{k}}$ 其中( p1, p2 ... pk 为质数, ei 为次数 )　

　　　 $E( N ) = N*\prod_{i=1}^{k} ( \frac{ p_i-1 }{p_i})$ 　但是此计算公式，除法过多，所以计算速度较慢

　　在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值 ( P为N的质因子 )

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P==0) 则有:E(N)=E(N/P)*P;

　　　　若(N%P==0 && (N/P)%P!=0) 则有:E(N)=E(N/P)*(P-1);

求单个数的欧拉函数：

long long eular(long long n)
{
    int i;
    long long ans=n;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans-=ans/i;
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
    }
    if(n>1)ans-=ans/n;
    return ans;
}

筛法欧拉函数：

int eular[MAXN+1];
void getEular()
{
    int i,j;
    memset(eular,0,sizeof(eular));
    eular[1]=1;
    for(i=2;i<=MAXN;i++)
    {
        if(!eular[i])
            for(j=i;j<=MAXN;j+=i)
            {
                if(!eular[j])
                    eular[j]=j;
                eular[j]=eular[j]/i*(i-1);
            }
    }
}

线性筛（同时得到欧拉函数和素数表）

bool check[MAXN+10];
int phi[MAXN+10];
int prime[MAXN+10];
int tot;
void phi_and_prime_table(int N)
{
    int i,j;
    memset(check,false,sizeof(check));
    phi[1]=1;
    tot=0;
    for(i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!check[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prime[j]>N)break;
            check[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}

posted @ 2016-08-13 18:33 vwqv 阅读(338) 评论(0) 收藏举报

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