埃氏筛法（Eratosthenes Sieve）

📘 埃氏筛法（Eratosthenes Sieve）算法笔记

✨ 目标与背景

我们希望高效求出小于等于 n 的所有质数（素数）。

相比朴素判断法（每个数都除一遍），埃氏筛法大大提高了效率，时间复杂度为 O(n log log n)，非常适合处理范围较大的质数筛选问题。

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✅ 核心思想

筛掉合数，留下质数。

1. 从 2 开始，标记其为质数。
2. 把所有 2 的倍数都标记为 非质数。
3. 找下一个未被标记的数（如 3），认为它是质数，然后再标记它的倍数。
4. 重复直到 √n。

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📌 关键实现代码

vector<int> getPrimes(int n)
{
    vector<bool> isPrime(n + 1, true); // 标记数组
    vector<int> primes;

    isPrime[0] = isPrime[1] = false; // 0 和 1 不是质数

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (isPrime[i])
        {
            primes.push_back(i); // i 是质数

            if ((long long)i * i <= n)
            {
                for (int j = i * i; j <= n; j += i)
                {
                    isPrime[j] = false; // 标记 i 的倍数为合数
                }
            }
        }
    }

    return primes;
}

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🧠 优化细节说明

✅ for (int j = i * i; j <= n; j += i)

• 直接从 i² 开始标记，因为比 i² 小的倍数已经被更小的质数筛掉了。
• 如 2 的倍数 4, 6, 8... 从 2² 开始即可；而 6 = 2*3 已被 2 标记过。

✅ (long long)i * i <= n

• 避免 int 类型乘法溢出，尤其是当 n 较大时。

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🧪 示例：n = 10

初始： [T, T, T, T, T, T, T, T, T, T, T]  // 0~10
变成： [F, F, T, T, F, T, F, T, F, F, F]

最终质数：2, 3, 5, 7

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💡 时间与空间复杂度

• 时间复杂度： O(n log log n)
• 空间复杂度： O(n)（主要用于布尔标记数组）

对比朴素方法（每个数都除一遍），效率提升巨大。可以轻松处理 n ≈ 10^6。

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📌 应用场景

• 筛选范围内所有质数（如欧拉函数、区间素数）
• 快速构造素数表用于后续操作（如试除法、分解因子）
• 作为“预处理”模块在很多算法题中非常实用

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📝 心得体会

• ✅ 筛法比起朴素判断法更高效、更优雅，是解决与质数有关问题的标配工具。
• ✅ 优化起始点到 i*i 是算法的核心思想之一，也是避免冗余标记的关键。
• ❗ 初次实现要注意防止溢出，建议用 long long 做乘法判断。

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✅ 延伸学习方向

• 欧拉筛（线性筛）：进一步优化到 O(n) 级别。
• 区间筛法：在大范围中筛选 [L, R] 区间的质数。