算法竞赛入门经典 7-8 倒水问题 UVa10603（BFS/隐式图最短路）

题意：有三个容量a,b,c的无刻度杯子，其中前两个为空,第三个装满水。现让它们互相倒水（不能中途停下，只能在某个杯子的水倒空或接满时停下），最少需要倒多少水，能使其中一个杯子的水量达到d，如果无法达到d，就让某个杯中的水量d'小于且尽量接近d。输出最少倒水量和目标水量(d或d')。

 

如果问题变成"最少需要多少次",不难用bfs解决。

问题是"最小倒水量“，不妨先考虑一下怎么表示状态。

每个状态需要用四个量来表示(杯中的水量v0,v1,v2和目前的倒水量dist)，根据题意模拟互相倒水的所有情况并更新状态。

直觉上，为了保证dist最小，可以把状态扔进以dist从小到大排序的单调队列里，此时每次取出的都很可能是当前dist对应的倒水量最少的状态， 用它更新dist对应的答案。直到结束。

为什么这样做是正确的？因为所有可能的状态构成了一个图，上述算法实际上是在状态图中跑了一遍dijkstra算法。

结束后从d开始往下找有解的目标水量输出即可。

 

// by 刘汝佳 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Node{
  int v[3], dist;
  bool operator < (const Node& rhs) const {
    return dist > rhs.dist;
  }
};

const int maxn = 200 + 10;
int vis[maxn][maxn], cap[3], ans[maxn];

void update_ans(const Node &u) {
  for (int i = 0; i < 3; i++) {
    int d = u.v[i];
    if (ans[d] < 0 || u.dist < ans[d]) ans[d] = u.dist;
  }
}


void solve(int a, int b, int c, int d) {
  cap[0] = a; cap[1] = b; cap[2] = c;
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  memset(ans, -1, sizeof(ans));
  priority_queue<Node> q;
  
  Node start;
  start.dist = 0;
  start.v[0] = start.v[1] = 0; start.v[2] = c;
  q.push(start);
  vis[0][0] = 1;

  while (!q.empty()) {
    
    Node u = q.top(); q.pop();
    update_ans(u);
    if (ans[d] >= 0) break;
    
    for (int i = 0; i < 3; i++)
      for (int j = 0; j < 3; j++) if (i != j) {
        if (u.v[i] == 0 || u.v[j] == cap[j]) continue;
        int amount = min(cap[j], u.v[i] + u.v[j]) - u.v[j];
        Node u2;
        memcpy(&u2, &u, sizeof(u));
        u2.dist = u.dist + amount;
        u2.v[i] -= amount;
        u2.v[j] += amount;
        if (!vis[u2.v[0]][u2.v[1]]) {
          vis[u2.v[0]][u2.v[1]] = 1;
          q.push(u2);
        }
      }
  }
  while (d >= 0) {
    if (ans[d] >= 0) {
      printf("%d %d\n", ans[d], d);
      return;
    }
    d--;
  } 
}

int main() {
  int T, a, b, c, d;
  cin >> T;
  while (T--) {
    cin >> a >> b >> c >> d;
    solve(a, b, c, d);
  }
  return 0;
}