Algorithm Note 6 组合/数列/概率/矩阵

最后一天tsx课件的搬运与整理
大概是高考相关。矩阵被放在了后面。

组合的性质
 
证明
性质1246:。。。显然
性质3：考虑在n中选m个，再从m中选k个。就相当于从n中选k个，再选出m个中扣去k的那部分。
性质5：
考虑杨辉三角：
1 
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1 
1 5 x x 5 1 
这个式子相当于把从C(n,n)开始往下的几个数相加，结果就是最下面的数右下角的数。
例如10=4+6=4+(3+3)=4+3+(2+1)，10=6+4=6+(3+1)...

lucas定理


隔板法

（即C(n+m-1,m-1)）

啊这。。。

经典问题


注意：只考虑第一次不经过其他障碍走到某个障碍对答案的贡献。

数列

你还记得快速幂怎么写吗

（然而并不知道怎么用快速幂算Fn）

Catalan数列

折线法：一种很妙的证明。注意上述“经典问题”的结论。

例题 P1641 折线法的应用。



概率与期望



经(du)典(liu)问题

问题一，随机变量x为扔的次数，显然P(x=i)=(5/6)^(i-1) * (1/6)，求均值。事实上会得到一个等差乘等比的形式，利用错位相减求和可得E(x)=6。
事实上，成功概率为p的事件期望1/p次成功。
问题二，在扔第一个数之前，得到新数字的概率为p1=6/6，同理，得到第二个新数字的概率为p2=5/6， pi=(7-i)/6.
则已经出现了i-1个数字，出现第i个新数字需要的期望次数为6/(7-i)
根据期望的线性性，E(x)=∑6/i (i=1...6) = 147/10
问题三：1/2 1/2
问题四：
前两次为正正，则A必胜
前两次为反反，反正，正反，则B必胜。因为一旦有个反，则反正正一定先于正正反出现。
故答案为1/4 3/4
问题五：一个硬币扔三次，出现ABB BAB BBA BAA BAB ABB的可能是相等的，不是这六种就重抛（我口胡的，不知道对不对，课件上没答案，忘了咋讲的了，下同）
问题六： 我的想法是AB和BA概率相等，可以把这两个看作一次正反面，转化成上一个问题。

矩阵

简单的说，C的第i行第j列的数就是A的第i行与B的第j列所有数对应相乘再求和，所以要求A的行中元素个数与B的列中元素个数相同。

验证一下
1 1
1 0
f1=1
1 1 * 1 1 = 2 1
1 0   1 0    1 1
f2=1
2 1 * 1 1 = 3 2 
1 1   1 0    2 1
f3=2
3 2 * 1 1 = 5 3 
2 1   1 0    3 2
f4=3
5 3 * 1 1 = 8 5 
3 2   1 0    5 3
f5=5
显然是对的，而且可以改变系数加以推广：

矩阵的乘法和快速幂怎么写？
由于矩阵乘法满足结合律，所以其实非常同理。注意矩阵乘法中的单位元：
单位矩阵：
在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个方阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1。除此以外全都为0。
回顾矩阵乘法的定义，Cij=∑Aik*Bkj,若B是单位矩阵，则Cij=Aij*Bjj=Aij.
代码


高斯消元
当时有点懵，不过现在看看其实不难理解





容斥原理/二项式反演
tsx:提高肯定不会考，所以我不讲了