Codeforces Round 1044 (Div. 2) A-E题解
题意概括：给你一个长 \(n\) 的正整数数组 \(a\) ，你可以任意改变元素顺序。之后，定义一个 \(z=1\) ， 遍历 \(2\le i\le n\) ，每一步会使 \(z:=z\times \frac{a_{i-1}}{a_i}\) ，你需要判断是否有一种顺序使得最后 \(z=1\) 。
范围：\((1\le n,a_i \le 100)\)
题解：我们发现，对于 \(2\le i \le n-1\) 的元素，它们在总表达式中会被当成分子 \(1\) 次，被当成分母 \(1\) 次，也就是说，我们可以完全忽略这些下标的元素的贡献，只看 \(i=1\) 和 \(i=n\) 就好了。最后表达式实际上就是 \(z\times \frac{a_1}{a_n}\) ，那么让 \(a_1=a_n\) ，也就是说数组中有 \(2\) 个或者以上相等的数字即可。
实现：记录 \(1\) 个数组，使其记录数组 \(a\) 中每个数值的元素数量，一旦有一个数值的元素数量大于等于 \(2\) ，输出 \(YES\) ，否则输出 \(NO\)。
题意概括：给你 \(n\) 个点，每个点都有一个点权 \(g_i\) ，你可以选择 \(2\) 个点 \(i,j\) 并在它们之间建立 \(1\) 条无向边，代价是 \(max(g_i,g_j)\) ，之后，这 \(2\) 个点的点权都减去 \(min(g_i,g_j)\) ，你需要让这些点连接成 \(1\) 个连通分量，求所需的最小代价。
范围：\((1\le n\le 2\times 10^5,1\le g_i\le 10^9)\)
题解：我们从大往小考虑，最大的那个点如果要与其他点相连，代价一定是最大的那个点的点权。然后使与它相连的那个点的点全变为 \(0\) 我们当然要找第 \(2\) 大的点相连最优。这时，最大点和次大点相连，而次大点的点权变为 \(0\) ，这两个点就等效于一个点权为 \(0\) 的点了，然后丢掉这 \(2\) 个点不看，剩下的所有点也找最大和次大相连，以此类推，我们最后会得到一堆点权 \(0\) 的点，让它们相连就好。(如果 \(n\) 为奇数会多一个最小值，直接连就好，不影响)。
实现：排序，然后 \(i\) 从 \(n\) 遍历到 \(1\) ，每次跳 \(1\) 个值，记录和就好。
题意概括：（交互题）给你一个有向无环图大小 \(n\) ，你可以这样询问最多 \(2n\) 次：
\(?\) \(i\) \(k\) \(a_1\) \(a_2\) \(...\) \(a_k\)
系统会告诉你在大小为 \(k\) 的点集合 \(a_1,a_2...a_k\) 中，以点 \(i\) 为起点的最长路径长度。
你需要输出这个图的最长路径长度并按顺序给出其中 \(1\) 条路径上的点。
范围：\((1\le n\le 500)\)
题解：我们要知道，在 \(1\) 条最长路径上的点，以它们为起点的最长路径是连续的，也就是说，假设有一组最长路径是 \(1->4->2->3\) ，那么如果询问以每个点为起点，在全集中的最长路径，结果一定是 \(1:4,4:3,2:2,3:1\)，那么接下来就很简单了。只需要找到一个最长路径的起点 \(d\) ，假设最长路径长度是 \(ma\) ，那么在询问全集最长路径为 \(ma-1\) 中找到一个 \(d\) 能到的点，然后将其记为 \(d\) ，继续找 \(d\) 能到的 \(ma-2\) 的点，以此类推，过程就是答案。
实现：对于每个点 \(i\) ，先询问 \(?\) \(i\) \(n\) \(1\) \(2\) \(...\) \(n\) ，记得到的值为 \(z\) ，以 \(z\) 的大小为标准做一个二维链表 \(vector<vector<int> >\) ，然后记录二维链表中存在有值的最大下标 \(z_{max}\) 然后遍历 \(i\) 从 \(z_{max}\) 到 \(1\) ，按题解的方法进行就好。
题意概括：给你一个长 \(n\) 的正整数数组 \(a\) ，你可以进行下列操作任意次：
- 花费 \(1\) 代价选择 \(1\) 个下标 \(i\) ，使得 \(a_i=a_i-1\) ，之后执行操作 \(2\) 。
- 若存在 \(a_i\le 0\) ，以 \(a_i\) 为分界线将原数组变为两个数组，然后，后面的那个数组的第 \(1\) 个元素减去 \(i\) 并重新执行操作 \(2\) 。
你需要给出让所有元素都变成非正整数的最小代价。
范围：\((1\le n\le 2\times 10^5,1\le a_i\le 10^9)\)
题解：想要最大程度上减少代价，必须让操作 \(2\) 的作用最大化。
先来从后往前分离数组（这个意思就是，从后往前这样做：将原数组 \(a\) 中的一个下标的元素消去，使得后面那个数组变为数组 \(b\)），这个 \(b\) 有什么性质呢？
首先，这个 \(b\) 不可分，只能从前往后依次删数。为什么？因为假设 \(b\) 再进行分离操作得到 \(c\) ，这样的操作比 \(b\) 从头到尾删数更优，那么我为什么不一开始就把这个 \(c\) 当作 \(b\) 呢？
所以，我们会在原数组 \(a\) 上，假定分离出 \(b\) 需要删去的元素下标是 \(i\) ，那么以 \(i\) 到 \(n\) ，操作 \(2\) 的作用就是 \(0\) \(min(i,a_i)\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) 。
整个数组 \(a\) 中，操作 \(2\) 的作用对于下标就是 \(0\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) \(0\) \(min(i,a_{i+1})\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) （因为操作 \(2\) 的作用不能超过数本身）。
之后，分离出了这个 \(b\) ，我们当然可以从 \(i-1\) 开始继续分离数组，结果一定是 \(0\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) \(0\) \(min(i,a_{i+1})\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) \(0\) \(min(j,a_{j+1})\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) 什么的。
在数值上，我们可以发现，事先假设不分离数组然后从头到尾删数，操作 \(2\) 的作用为 \(0\) \(1\) \(1\) \(...\) \(1\) ，也就是说，只要选择一个下标 \(i\) 删除以分离数组，那么操作 \(2\) 的作用一定是将对 \(i\) 的作用变为 \(0\) ，然后将对 \(i+1\) 的作用变成 \(min(i,a_{i+1})\) ，其他的不变。
这不就是动态规划吗，让作用最大就好了。
实现：动态规划 \(dp_{i,j}\) 为遍历到第 \(i\) 个数，是否选择该数的上一个下标 \(i-1\) 删除 \(j\)，得到的最大值 \(dp_{i,j}\)。
从 \(2\) 开始遍历到 \(n\) 。
初始化，\(dp_{1,1}=dp_{1,0}=0\)
转移方程：\(dp_{i,1}=dp_{i-1,0}+min(i-1,a_i)-(i!=2)\);
\(dp_{i,0}=max(dp_{i-1,1},dp_{i-1,0})+1\)
题意概括：给你一棵大小为 \(n\) 的树，上面有个 \(Him\) ，一开始， \(Him\) 可能在树的任意位置，你可以进行以下操作总和不超过 \(\lfloor \frac{5}{4}n \rfloor\) 次以保证最后一定能抓住 \(Him\)：
- 短暂照亮 \(1\) 个点，如果此时 \(Him\) 在这个点上或者接下来移动到这个点上，\(Him\) 就会被抓住。然后，\(Him\) 移动到一个相邻的点或者不移动。
- 删除与 \(1\) 个点有关的所有边，然后，\(Him\) 移动到一个相邻的点或者不移动。
保证一定有方案抓住 \(Him\) 。
范围：\(1\le n\le 2\times 10^5\)
题解：首先，操作 \(1\) ，显然可以抓住在 \(1\) 条链上的 \(Him\) ，从一端到另一端就好了，因为 \(Him\) 可能在树的任意一个地方，所以操作 \(1\) 必须在所有连通分量都为链的情况下进行 \(n\) 遍。更具体的说，我们要在 \(\lfloor \frac{1}{4}n \rfloor\) 次操作 \(2\) 下把所有连通分量都变成链。怎么办呢？
假设我们以某个点为根，定义一个点是有效子节点，仅在这个点和它的子树还有它的父节点能组成链。
（注意，在遍历的同时会进行删边操作，所以有效子节点的定义是动态的）
那么接下来，对于任意一个点，以它的有效子节点数量 \(c\) 做如下区分：
\(c\le 1\) ：这个点及其有效子树组成一个链，那么对这个点的父节点来说，它是一个有效节点。
\(c=2\) ：这个点有 \(2\) 个有效子节点，这时，强制对它的父节点进行操作 \(2\) （如果有的话），它和它的子树成链，它不是一个有效节点。
\(c>2\) ：这个点的有效子节点至少为 \(3\) ，那么直接对它进行操作 \(2\) ，它不是一个有效节点。
如此操作一定能把树变为一堆链，下面证明次数合法。
对于 \(c=2\) 的操作 \(2\) ，因为这个点、这个点的 \(2\) 个子节点，这个点的父节点，合起来一共是 \(4\) 个节点。那么操作 \(2\) 后，相当于从原树上删去了至少 \(4\) 个节点，所以次数一定合法。
对于 \(c>2\) 的操作 \(2\) ，这个点、这个点的至少 \(3\) 个子节点，合起来也是 \(4\) 个节点，相当于从原树上删去了至少 \(4\) 个节点，所以也合法。
模拟即可。
实现：第一遍 \(dfs\) ，模拟该操作删边，第二遍 \(dfs\) ，找度小于等于 \(1\) 的点做子 \(dfs\) ，遍历完所有点。
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