Codeforces Round 1040 (Div. 2) A-E2 题解

1. Problem - A - Codeforces

   题意概括：给你一个非负整数集合 \(T\) ，在这个集合不为空时，你可以选择任意个元素，然后选择下列操作之一执行：

   ​ 将答案增加所选元素的 \(mex\) 。

   ​ 将答案增加所选元素的 \(sum\) 。

   求答案的最大值。

   题解：贪心考虑，选择 \(mex\) 大于等于 \(sum\) 的元素只有 \(0\) 与 \(0,1\) ，其中 \(0,1\) 可以视为 \(mex(0)+sum(1)\) ，也就是说，只选择对 \(0\) 使用 \(mex\) ，对其他元素使用 \(sum\) 即可使答案最大。

2. Problem - B - Codeforces

   题意概括：你需要重新排序一个长 \(n\) 仅包含 \(0,1,2\) 且每种至少有 \(1\) 个的序列，使得对于每一条起点为 \(1\) ，终点为 \(n\) 的路线经过的点权值加起来不能等于 \(m\) 。

   题解：这里 \([1,n]\) 表示直接从 \(1\) 走到 \(n\) 经过的点权值。

   先考虑所有路线的特性，显然是除了正常的从 \(1\) 直接走到 \(n\) 以外，还能多次经过所有大于 \(1\) 的连续区间，也就是说，只需要使得题目给的 \(m\) 无法被 \([1,n]+\) 若干区间和 表示即可。

   那么我们讨论区间情况，如果一个 \(0\) 与 \(1\) 相邻，那么总是能走出大于等于 \([1,n]\) 的所有值（可以一直 \(010101\) 粪招复读），也就是说，我们最好不让 \(0\) 与 \(1\) 相邻，那么就会发现，这时的序列一定是 \(0\) 与 \(2\) 相邻，\(1\) 与 \(2\) 相邻，\(1\) 与 \(1\) 相邻，\(2\) 与 \(2\) 相邻，\(0\) 与 \(0\) 相邻。仅说走过这些相邻区间，相当于 \(+2,+3,+2,+4,+0\) ，这些有用的就只有 \(+2,+3\) ，熟悉质数的朋友们都知道，这两个数字能够组合成除了 \(1\) 以外的所有正整数。

   也就是说，只有 \(m<[1,n]\) 或者 \(m=[1,n]+1\) 才能用上述构造满足题意，其他的输出 \(-1\) 即可。

3. Problem - C - Codeforces

   题意概括：给你 \(n\) 个保证右端点严格大于左端点的区间，你需要选择其中的任意一个集合 \(S\)。这里：

   \(f(S)\) 表示集合中所有区间视为一条左端点到右端点的无向边后，构成大于等于三元环的所有点集合大小。

   \(g(S)\) 表示集合中所有区间的并区间，满足 \(c\) 与 \(c+1\) 都在这个并区间的 \(c\) 的数量。

   你需要最大化 \(g(S)-f(s)\) 的值。

   题解：我们有一种方法，选择区间使得并区间最大且使得 \(f(S)=0\) 。

   设区间为 \([l,r]\) 。

   首先直接考虑怎样会形成三元环（及以上），最小限度应当是选择 \([a,b],[b,c],[a,c]\) ，显然，形成三元环的条件之一就是选择两个 \(l\) 相同的区间，但是，要保证 \(g(S)\) 最大的话，相同的 \(l\) 选择不同的 \(r\) ，对于 \(r\) 比较小的那个是没有意义的，也就是说，对于每个 \(l\) ，选择最大的 \(r\) 即可。

   排序模拟即可。

4. Problem - D - Codeforces

题意概括：给你一个长 \(n\) 的排列 \(a\)，你可以选择其中的任意数量的元素 \(a_i\)，使其变为 \(2n-a_i\) 。

你需要使得最后排列的总逆序对数最小。

题解：这里考虑变化 \(1\) ，显然，变化 \(1\) 之后，它一定是全数组最大的那个数（即使其他数也变化），也就是说，变化其他任何数都不会使得关于 \(1\) 的逆序对数量发生变化，对于 \(1\) 是否变化，我们只需要考虑变化前后关于 \(1\) 的逆序对数量变化是否有益即可。

同时，因为之后的任意变化都不会改变关于 \(1\) 的逆序对数量（即使 \(1\) 不发生变化），之后考虑 \(2\) 的时候，我们就可以直接在 \(a\) 中去除 \(1\) 来考虑，这时 \(2\) 是 \(a\) 中最小的数字，我们当然可以把上述对 \(1\) 的考虑放在 \(2\) 上面。

然后以此类推即可。

5. Problem - E1 - Codeforces

   题意概括：给你一个括号序列 \(S\) 的长度 \(n\) \((2\leq n \leq 1000)\)，然后你可以这样询问最多 \(550\) 次：

   \(?\) \(k\) \(a_1\) \(a_2\) \(a_3\) \(...\) \(a_k\) \((k\leq 1000)\)

   会回答你字符串 \("S_{a_1}S_{a_2}S_{a_3}...S_{a_k}"\) 的正则括号子串的个数。

   保证这个括号序列至少有一个 \('('\) 和一个 \(')'\) 。

   你需要在询问次数范围内给出这个括号序列是什么。

   题解：找到了一对确定的 \(()\) 这道题就好做了，所以我们先找一对 \(()\)。

   因为至少有一个 \('('\) 和一个 \(')'\) ，所以对整个串进行询问，如果结果为 \(0\) ，那么一定有 \(S_1=')',S_n='('\)。

   如果结果不为 \(0\) ，那么这个串内一定有一个 \(i\) 满足 \(S_i='(',S_{i+1}=')'\) ，这里我们二分查找最大的 \(i\) ，使得包括这个 \(i\) 的后缀的询问结果不为 \(0\) ，这时的 \(i\) 就是满足 \(S_i='(',S_{i+1}=')'\) 的 \(i\)。

   然后观察 \(550\) 次这个限制，可以发现我们的每次询问必须能询问出括号序列中起码 \(2\) 个位置。也就是说，我们必须构造一种询问方式，使得对于 \(2\) 个位置所会发生的所有情况询问都有不同的结果。

   这个构造很痛苦，我构造出来的是给这两个位置的元素的前面加上 \(((()()\) ，这样，根据这两个位置的不同得到的结果分别为 \(3,4,5,6\) 。

   询问单个位置的很简单，就不讲了。

   模拟即可。

6. Problem - E2 - Codeforces

   （请注意！我的解法和现在的正常解法有偏差，使我被 \(E3\) 丹砂）

   题意概括：询问最多 \(200\) 次。

   题解：只有询问次数的变化，那么我们只需要每次询问处理 \(6\) 个位置即可。

   因为会返回 \(3,4,5,6\) ，所以可以构造多个关于 \(2\) 个位置的询问，比方说需要询问 \(6\) 个位置时，可以直接使第 \(1\) 组 \(2\) 的新元素的询问重复 \(7\times 7\) 次，第 \(2\) 组重复 \(7\) 次，第 \(3\) 组重复 \(1\) 次，这样得到一次询问的结果可以转化为三个询问的结果。

   模拟即可。