Codeforces Round 1024 (Div. 2)题解

推荐曲目：センチメートル

1. A. Dinner Time
   题意概括：给你n、m、p、q这4个正整数，表示有一个n长度的序列，这个序列的每p个连续元素的和为q，你需要构造一个序列，其中元素为任意整数，保证其和为m。
   请输出是否可能。

题解：可以深入思考一下一个固定长区间的构造方法。
比如说p=3，q=5，我们可以在序列中以[-1,7,-1]或者[-1,-1,7],甚至是[9,-2,-2]为循环节构造区间。
可以观察到，无论是负数的大小，还是负数的位置，都可以任意指定。正数也如此。
如果这个循环节到最后是不完全的，也就是说n=5，p=3之类的，最后一定会只放得下循环节的一个前缀，而上述观察告诉我们，这个前缀的大小是可以任意构造的，也就是说最后和一定能够等于m。
如果循环节完全，那么序列的元素和固定为循环节数量乘q，判断是否等于m即可。

2. B. The Picky Cat
   题意概括：给你一个整数序列，你可以任意次数使得一个数等于其相反数，最后要使得在下标1的那个数字为中位数，输出是否可能。

题解：为方便，将下标为1的那个数字记为x
首先，因为你可以任意使一个数变成其相反数，我们可以直接将所有数都翻成非负数在数轴上观察。
可以发现，绝对值大于等于x的数，可以自由选择在x的左右边，而其余的数，在x左右边只取决于x的正负，很简单，只需要自由的大于等于其余的，x就能变成中位数。
特殊的，n为偶数时，自由的大于其余的+1即可（因为x只需要为n/2）

3. C. Mex in the Grid
   题意概括：你需要构造一个nn的矩阵，包含0到nn-1各一个，你需要保证其每个子矩阵中元素mex的和最大。

题解：只需要把每次的元素都放在可以放到的离0最近的地方且连续就好，因为要保证mex最大，那么先接触的矩阵一定是每次都接触下个连续元素的矩阵，要保证这个矩阵在后续扩张中总和最大，最后就是保证其人为走的每一步都包含最多mex中元素。
换句话来说就是guass（逃

4. D. Quartet Swapping
   题意概括：给你一个长n排列，你可以无限次选择连续4个元素，然后交换1与3，2与4，最后使得这个排列字典序尽可能小。

题解：交换元素不能改变元素所在位置的奇偶。
拿长为5的排列玩，就会发现有这样一种交换手法：
可以选择排列中任意两对交换，因为这个交换方式本质上和冒泡相等，所以两对元素可以在距离为偶数的情况下置换，如果是奇数，那么也可以交换（自己推下）。
那么我们直接贪心交换，每次使得奇偶位置最小的元素放在前面，一直到n-4停止即可。
那么为什么排列中的最后三位顺序一定是可能情况下最优的呢？
我不知道，自己拿长5的排列玩就好了。

5. E. 23 Kingdom
   题意概括：给你一个正整数序列，你可以无限次将任意正整数变成小于等于它的另一个正整数，最后对于序列中的每个存在的正整数，将它们下标的最大值与最小值相减就是这个正整数的贡献，求贡献和。

题解：因为每个正整数提供贡献仅取决于左右两边的下标，所以对于每一个正整数，我们都只选择两个下标来取代它。
首先，假设序列最后有着k对数，那么正整数一定能够看成一个k的排列。
这个求法很简单，只需要把大于k的所有数加入一个数据结构，在每一步先加入等于i的所有下标，然后找出最大最小的两个数计算贡献并删除即可。
可以证明，这一定是恰好选择k对数的最大贡献（从k为1开始理解）
这个贡献是一个单峰函数。
为什么，注意到一个手捏样例：1，1，2，2，这个样例的答案应该是3，但如果k=2的话，答案就是2，也就是说，选择多对k，那么对于上游的贪心，一定是有着递减的效应的。
再看看为什么k小的时候答案显然递增。
因为数对不够了，对于一个k=1的答案，这个正整数的数对一定是最高质量的，但是不排除会有上面的某对依然可能形成一对，因此可能会递增。
为什么一定是单峰函数。
仔细想想前面为什么会递增，因为上游的可能会新构成一对使得答案可能增加，如果新增了一对使得答案减少，那么更上游的选择，答案一定是更劣的，所以会一直单减。
三分维护单峰，但check用set会超时，可以用线段树加二分维护。