随笔分类 - 算法笔记
摘要：欧拉定理（又称费马-欧拉定理）：已知a和n为正整数，并且a和p互素，则a^phi(n) ≡1(mod n)。证明： 设集合Z = {X1, X2, X3, .... , Xphi(n)}，其中Xi (i = 1, 2, .. phi(n))表示第i个不大于n与n互质的数。 考虑集合S = {a*X1(mod n), a*X2(mod n), ... ,a*Xphi(n) (mod n) }，则集合Z = S; 1) 因为a和n互质，Xi和n也互质，所以a*Xi 也与n互质。所以对任意一个Xi，a*Xi (mod n)一定是Z里面的元素; 2)对于任意Xi, Xj, 如果Xi != Xj...
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摘要：周冬的《两极相通——浅析最大最小定理在信息学竞赛中的应用》把方法讲的很详细了。几点：1、把平面图G*中每一个面抽象成对偶图G*中的点。2、平面图包含f个面，设边e分割fi, fj，则连边(fi, fj)。3、关于如何区分源点和汇点。可以先连接s和t，得到一个附加面。如下图s->4->7->t->s，s*放到附加面中，t*放到无边界的面中，加以区分。4、建好图后要把(s*, t*)这条边删掉。5、G的面数等于G*的点数，G*的点数等于G的面数6、G与G*边数相同 G*中的环对应G中的割一一对应如图：hdu 3780题意是求最小割。直接套网络流模板会TLE。转换成最短路模型
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摘要：对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。这里用到Lusac定理For non-negative integersmandnand a primep, the followingcongruence relationholds:whereandare the basepexpansions ofmandnrespectively.对于单独的C(ni, mi) mod p，已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，
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摘要：一些概念和理解：Suffix(i)： 表示从i位置到字符串末尾这个子串，（后缀数组）；sa[i]：表示排名为i的子串从哪个位置开始，即排名为i的子串为Suffix(sa[i])；rank[i]：表示在字符串上，第i位置在后缀数组中的排名是多少；height[i]：height[i] = Suffix(sa[i-1]) 和Suffix(sa[i])的最大公共前缀；假设有j、k，且rank[j] < rank[k]，则有：Suffix(j)和Suffix(k)的最大公共前缀为height[rank[j] + 1], height[rank[j] + 2], ... , height[ran.
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摘要：/*记得以前做cf就吃过这上面的亏，今天队里的比赛又挂了好几次才推 出来。。。晚上整理了一下，分别写了写>= , > , <= , <这四种情况。（== 就 不用写了），测试数据包含最小值和最大值的测试，有些情况结果是非法的，输出为-1 或 n*/ //#pragma comment(linker,
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摘要：二分法只适用与线性函数，当函数脱离线性而呈现凸性或者凹性的时候，三分是很有必要的。三分过程如下图：凸函数：凹函数：实现方法：double Calc(double p) { /*...*/}double Solve(double MIN, double MAX) { double Left, Right; double mid, midmid; double mid_area = 0, midmid_area = 0; //*** Left = MIN; Right = MAX; while (Left + eps < Right) { mi...
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摘要：胡伯涛的《最小割模想在信息学竞赛中的应用》中讲到了最大密集子图。而这题是一个很裸的最大密集子图。。。定义：无向图G中存在一个子图G‘，使得G‘中|E|/|V|最大。即：分数规划，设一个猜想值g，构造一个新函数h(g) = max{sigma(Xe) - sigma(g*Xv)} (Xe属于边集，Xv属于点集)有:已知：乘以-1得：乘以2化简得：其中C[V', !V']表示的图的最小割。所以可以根据如下方式建图：dv最大为m，所以U = m即可， 1/n <= g <= m/1;同时有一个结论：任意两个密集子图，他们的密度查不小与1/n2另外（摘自Discuss）：这
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摘要：周冬的《生成树的计数及其应用》论文上讲到过生成树计数的问题。用到的是一个Kirchhoff矩阵，它是这样定义的：a、设一个度数矩阵D，当i == j时，Dij = (i这个节点的度数)，否则Dij = 0;b、设一个连通性矩阵A，如果i 和j连通，则Aij等于i到j的边数，否则Aij等于0；Kirchhoff矩阵C = D - A；有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理：对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值（可以用高斯消元解，线性代数没学好的面壁去。。。-_-!）。所谓n-1阶主子式，就是对于..
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摘要：当最短路变成二维，就会发生非常有意思的事情。。。问题：给出u v w，表示从u -> v(双向边)所耗的时间为w，又知道没经过一条边，获利为1（对于一天边可以来回走）。求从start到end点，获利至少为k时用的最小时间。。。如果没有那个k，这个问题直接就是st -> ed的最短路。spfa，dijkstra。。。等等现在可以设 dis[i][j]表示到从st到 i点经过边数为j 时的最短路。然后直接spfa，队列中的每个点保留两个值，节点号，和到这个节点的边数。const int N = 100010;const int M = 5024;struct node { int to
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摘要：/*建图用的邻接表，复杂度O(E*logE)*/struct pnode { int num; int len; pnode() {} pnode(int a, int b) : num(a), len(b) {} bool operator < (const pnode tmp) const { return len > tmp.len; }};int dis[N];bool vis[N];int n;void bfs(int s) { priority_queue<pnode> q; q.push(pnode(s, 0)); ...
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摘要：For non-negative integersmandnand a primep, the followingcongruence relationholds:whereandare the basepexpansions ofmandnrespectively.
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摘要：详见：《算法导论》HDU 43441、长度是N的因子（且大于1小于N）,集合中的元素得两两互质2、为了尽可能多的选出，每个L的质因子应当只包含N的一个质因子，L是一个质因子的整数次，所以K的值就是N中不同质因子的个数3、要想和最大，那么使得每个L最大，只要使得质因子的指数最大即可所以用pollard_rho分解N的质因数，然后统计不同的质因子个数K，以及计算所有相同质因子乘积的和S特殊情况：如果N本身是某个质数的整数i次幂，那么K只能等于1，因为L要小于N，所以L最大为该质数的i-1次幂 以前poj上用过这个模板。。。放在这道题上wa到爆了。。。最后发现是没注意上面这种情况。。。吐嘈一下，恶心
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摘要：给一个棋盘，里边有许多黑白格子，要求找出一块连续的矩形，似的矩形内部的格子全部为白色，并且面积（周长）最大。王知昆的《浅谈用极大化思想解决最大子矩形问题》里边有讲解。这里给出模板void solve(int x) { //x表示要求矩形的颜色0为黑色，1为白色 int i, j; for(i = 1; i <= m; ++i) { H[i] = 0; L[i] = 1; R[i] = m; } int lm, rm; for(i = 1; i <= n; ++i) { lm = 1, rm = m; for(j ...
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摘要：很早看过这个东西，不过今天遇到一道题发现居然没有写笔记。。。这里补上吧。以下是我从某个题的解题报告翻出来的。转载的别人的。。。。以此为例：对于N=8，K=3，8个元素序列1 3 -1 -3 5 3 6 7，窗口大小为3，也就是要求出(1, 3, -1), (3, -1, -3), (-1, -3, 5), (-3, 5, 3), (5, 3, 6), (3, 6, 7)这6个序列中的最小值，结果简单，就是-1, -3, -3, -3, 3, 3.使用单调队列，首先要有一个数据结构structnode {intseq, val; }用于记录队列中的元素及其在输入序列中的顺序。队列的状态是这样维护
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摘要：Trie图先看一个问题：给一个很长很长的母串 长度为n，然后给m个小的模式串。求这m个模式串里边有多少个是母串的字串。最先想到的是暴力O(n*m*len(m)) len(m)表示这m个模式串的平均长度。。。显然时间复杂度会很高。。。再改进一些，用kmp让每一模式串与母串进行匹配呢？时间复杂度为O((n + len(m))*m)，还算可以。可是还有没有更快的算法呢？编译原理里边有一个很著名的思想：自动机。这里就要用到确定性有限状态自动机（DFA）。可以对这m个模式串建立一个DFA，然后让母串在DFA上跑，遇到某个模式串的终结节点则表示这个模式串在母串上。就像这个图，母串“nano”在上边跑就能到
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摘要：http://www.hhanger.com/?p=134http://www.coderplusplus.com/?p=393POJ 2201const int N = 50010;int stack[N];int pre[N], lson[N], rson[N];struct node { int key; int val; int id;} st[N];bool operator < (const node& a, const node& b) { return a.key < b.key;}void init(int n) { memset(stack, .
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摘要：大概的思路是线封死一条边i -> j，再找i到j的最短路dis[i][j]。dis[i][j] + w[i][j]就是一个环。找到所有环里的最小值就能得到最小环。不过。。。用dijkstra算单源最短路的话，这个的时间杂度是O(n^4)；所以可以用floyd将时间复杂度控制在O(n^3)上。思路是在floyd算法进行松弛的时候就找这个最小环。ans = min(ans, dis[i][j] + w[i][k] + w[k][j]); 这样 k -> i - >.... -> j -> k就得到了一个最小环。具体实现如下：void dfs(int i, int j)
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摘要：又是生成树问题。。。次小生成树，顾名思义就是比最小稍微大那么一点点的生成树，^_^方法是：1、找到最小生成树，值为mst2、最小生成树种的点：找到每一个点到其它点的路径上的最大边权值 dp[i][j]表示i到j路径上的最大边权值3、加一条不在最小生成树上的边。比如i - k，同时删除在最小生成树上i -> k路径上最大的一个边权值dp[i][k]; 这样会得到 new_mst，在这些new_mst中找一个最小的，就是次小生成树的值实现上用到一些技巧，代码如下POJ 1679：View Code #include <iostream>#include <cstdio>
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摘要：定义：一个有向图，存在从某个点开始的到达所有的的一个最小生成树，则它就是最小树形图。从早晨到现在一直在翻资料，终于理解了一点。朱-刘算法的大概过程如下：1、找到除了root以为其他点的权值最小的入边。用In[i]记录2、如果出现除了root以为存在其他孤立的点，则不存在最小树形图。3、找到图中所有的环，并对环进行缩点，重新编号。4、更新其他点到环上的点的距离，如：环中的点有（Vk1，Vk2，… ，Vki）总共i个，用缩成的点叫Vk替代，则在压缩后的图中，其他所有不在环中点v到Vk的距离定义如下：gh[v][Vk]=min { gh[v][Vkj]-mincost[Vkj] } (1<=j
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摘要：首先这是要解决什么问题：一个带权完全图，每条边都有自己的花费值cost[i]和收益值benifit[i]，如果用x[i]来代表一条边取或不取，那么求一个生成树。要求:r=（∑cost[i]*x[i] ） / （∑benifit[i]*x[i] ）最小。经典题目：POJ2728 - Desert King如何来求解：这里用到了0-1分数规划思想,对于上式可以变形为 z(r)=∑cost[i]*x[i] -r*∑benifit[i]*x[i]。而z(r)=0为我们所求。这里有个非常重要的结论：z(r)为单调递减函数，因此是线性的。于是"我们可以兴高采烈地把z(r)看做以 cost[i]-
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