欧氏几何：几何原本（卷二）

定义

1.矩形是指邻边夹角为直角的平行四边形

2.拐尺形是指平行四边形中的补形以及形成的小的平行四边形（如图虚线部分）

命题

由于命题过多博主无法详细说明证明，卷2命题主要是通过矩形、正方形表述面积以及之间的等式，博主建议从代数角度去看待

[1]已知矩形，其中一条线段被截成几部分，则截成的几部分矩形的面积之和等于原矩形面积（矩形=矩形1+矩形2+...）（代数表示：\(a(b+c+...=ab+ac+...)\)）

[2]简化表述：\(S_{正方形ABED}=S_{矩形ACFD}+S_{矩形BCFE}\)（代数表示：\(a(a+b)+b(a+b)=(a+b)^2\)）

[3]简化表述：\(S_{矩形ABEF}=S_{矩形ACDF}+S_{正方形BCDE}\)（代数表示：\(a(a+b)=a^2+ab\)）（备注：\(AC=b,BC=a\)）

[4]简化表述：\(S_{正方形ABED}=S_{正方形BCGK}+S_{正方形DFGH}+2S_{补形ACGH}\)（代数表示：\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)）（备注：\(AC=a,BC=b\)）

[5]简化表述：\(S_{矩形ADHK}+S_{正方形EGHL}=S_{正方形BCEF}\)（代数表示：\(ab+(\frac{1}{2}(a+b)-b)^2=(\frac{1}{2}(a+b))^2\)）（备注：\(AK=b,AD=a\)）

[6]简化表述：\(S_{矩形ADMK}+S_{正方形EGHL}=S_{正方形CDFE}\)（代数表示：\(b(a+b)+\frac{a}{2}^2=(\frac{a}{2}+b)^2\)）（备注：\(AB=a,BD=b\)）

[7]简化表述：\(S_{正方形ABED}+S_{正方形BCGF}=2S_{矩形ABFH}+S_{正方形DHGN}\)（代数表示：\((a+b)^2+a^2=2a(a+b)+b^2\)）（备注：\(AC=b,BC=a\)）

[8]简化表述：\(4S_{矩形ABKM}+S_{正方形EHQO}=S_{正方形ADFE}\)（代数表示：\(4a(a+b)+b^2=(2a+b)^2\)）（备注：\(BC=a,AC=b\)）

[9]简化表述：\(AD^2+BD^2=2AC^2+2CD^2\)（代数表示：\((a-b)^2+b^2=2\frac{a}{2}^2+2(\frac{a}{2}-b)^2\)）（备注：\(AB=a,BD=b\)）

[10]简化表述：\(AD^2+BD^2=2AC^2+2CD^2\)（代数表示：\((a+b)^2+b^2=2\frac{a}{2}^2+2(\frac{a}{2}+b)^2\)）（备注：\(AB=a,BD=b\)）（证明参考勾股定理）

[11]已知线段AB，寻找一分点H使得\(S_{矩形BDKH}=S_{正方形AFGH}\)（尺规作图）

结论：设AC中点为E，作EF使得BE=EF，AF作正方形，则H为所求点

[12]钝角三角形的边关系：\(BC^2=AC^2+AB^2+2AC.CD\)（证明参考命题6）

[13]锐角三角形的边关系：\(AC^2=AB^2+BC^2-2BC.BD\)（证明参考命题7）

[14]已知直线形，作正方形使得面积等于直线形面积（尺规作图）（结合卷一命题可降级为已知矩形，如何作等面积的正方形。如图已知\(S_{矩形BCDE}+EF^2=GF^2\)（参考命题5），以GF作圆且GE=EF即\(GH^2=GE^2+HE^2\)可得HE为边的正方形其面积等于矩形）

总结

卷2主要阐述正方形、矩形的面积关系，也给出了钝角三角形、锐角三角形的边（附加垂线）的关系，最后命题可以将矩形、正方形等面积转换

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参考资料

[1]《几何原本》译林版