公理集合论（一）：集合

请读者具备离散数学的基础

2023,01,25：简化部分描述

2023,05,17：删除部分错误观点

2023,07,10：大幅修改内容，本篇文章将不会再作改动

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一、集合与类

朴素集合

外延原则：集合是由元素所决定的

元素常用\(a,b,c...\)小写字母表示，集合常用\(A,B,C...\)大写字母表示

其中元素要满足确定性、相异性（参考高中课本）

那么可以有属于或不属于关系，如\(3∈N,π∉N\)

这里先引入Cantor意义上存在悖论的概括原则

概括原则：\(S=\{x~|~p(x)\}\)表示集合是由满足\(p(x)\)性质的元素所组成的

如\(A=\{x~|~x+1<0,x∈N\}\)

罗素悖论与类

罗素悖论：\(T=\{x~|~x∉x\}\)

来思考这个集合，会发现相矛盾的点

如果x是T的元素，那么就要满足x不是T的元素

如果x不是T的元素，那么根据其性质就是T的元素

可以发现不管怎样都是存在这样的矛盾，从命题逻辑来看就是\(A←→￢A,~~~A:x∈x\)这样的矛盾式

罗素提倡用新的概念——类去解决悖论

\(类\begin{cases}集合:可作为元素去属于集合\\ 真类:不可作为元素去属于集合,也不可为类的元素 \end{cases}\)

外延原则适用于集合、类，因为本质上集合的基础规范是属于关系，而拓展至类即消解属于关系

但概括原则有些不同，需要修改

回到罗素悖论，正是因为\(x∉x\)是决定了真类而非集合，导致了悖论的发生

朴素集合的两个原则将被以下原则替代

空集合的存在原则

存在着空类\(Ø=\{x~|~x≠x\}\)

解释：空集作为最基础的集合，甚至可以说任意集合都由空集构造的

对集合的存在原则

对于任意集合\(x,y\)，存在集合\(S=\{x,y\}\)，称作无序对集合

如果\(x=y\)则集合\(S=\{x\}\)称为单元集合

解释：构造集合的原则，即任意集合都是套括号得到的

有序对集合

\(\{a,b\}\)中\(a,b\)的位置是无序性的，但可构造有序性的集合

定义1：对于任意的集合\(a,b\)将\(\{\{a\},\{a,b\}\}\)称为有序对集合简记为\(<a,b>\)

定理1：\(<a,b>=<u,v>\)当且仅当\(a=u,b=v\)

如\(<1,2>=\{\{1\},\{1,2\}\}≠<2,1>=\{\{2\},\{1,2\}\}\)

幂集的存在原则

定义2：有任意集合\(S_1,S_2\),若满足\(∀x(x∈S_1→x∈S_2)\)，则称\(S_1\)是\(S_2\)的子集，或称\(S_2\)是\(S_1\)的超集，记作\(S_1⊆S_2\)，否则记作 \(S_1 \not ⊆ S_2\)

定理2：\(∀x(Ø⊆x)\)

定理3：\(∀x(x⊆x)\)

定理4：传递性，\(∀S_1,S_2(S_1⊆S_2~∧~S_2⊆S_3→S_1⊆S_3)\)

原则：给定任意集合\(S\)一定存在幂集，其所有的子集构成的集合称为幂集，记作\(𝓟(S)=\{x~|~x⊆S\}\)

解释：构造集合的运算之一

定理5：若集合\(S\)有\(n\)个元素，则\(P(S)\)有\(2^n\)个元素

这一点可以利用组合学的观点来证明

并集合的存在原则

原则：给定任意集合\(S\)一定存在并集合，其中所有元素构成的集合称为并集合，记作\(∪S=\{x~|~∃y(x∈y~∧~y∈S)\}\)

解释：构造集合的运算之一

如\(S=\{\{1,2\},2,3,4,\{5,Ø\}\}\)，\(∪S=\{Ø,1,2,3,4,5\}\)

定理6：\(∪𝓟(S)=S\)

高中所学一类运算实则是并集合的特殊情况，如

\(A∪B=∪\{A,B\}\)

子集的分离原则

根据概括原则，假设有一类\(C=\{x~|~p(x)\}\)

这时候虽然不确定其成分，但可以构造一集合\(S\)满足\(C⊆S\)（备注：真类不可作为元素，因此包含只针对集合部分）

那么可以有\(C∩S=\{x~|~x∈C~∧~x∈S\}\)这样子就能得到集合而避免取到真类

原则：给定性质\(p(x)\)，集合\(S\)，则存在集合\(S'=\{x~|~p(x)~∧~x∈S\}\)

解释：通过此原则，有时也作为证明类是集合的方法，同时罗素悖论也能解决\(S'=\{x~|~∃S,C⊆S,x∉x~∧~x∈S\}=Ø\)

定义3：集合全体\(V=\{x~|~x=x\}\)与空集截然相反的\(V\)是没有任何约束性的类，因为存在\(V∈V\)，但如果采用分离原则就可以得到集合\(V'=\{x∉x~∧~x=x\}\)

集合运算

备注：等号左侧变元全为集合

交运算：\(S_1∩S_2=\{x~|~x∈S_1~∧~x∈S_2\}\)

广义交：\(∩S=\{x~|∀y(y∈S→x∈y)\}\)

相对补：\(S_1-S_2=\{x~|~x∈S_1~∧~x∉S_2\}\)

笛卡尔积：\(S_1×S_2=\{<x,y>~|~x∈S_1~∧~y∈S_2\}\)

定理7：以上集合运算得出的类必然都是集合（可用子集分离原则证明），类运算得出的也必然是类

关系

为方便描述，将\(∀x(x∈y→A(x))\)简写成\(∀x∈yA(x)\)

将\(∃x(x∈y~∧~A(x))\)简写成\(∃x∈yA(x)\)

定义4：类关系\(R\)满足条件\(∀x∈R∃y_1∃y_2(x=<y_1,y_2>)\)

定理8：存在类\(C_1,C_2\)，类关系\(R⊆C_1×C_2\)，可以将定义简化为类笛卡尔积的子集

定义5：定义域，\(dom~R=\{x~|~∃y(<x,y>∈R)\}\)

定义6：值域，\(ran~R=\{y~|~∃x(<x,y>∈R)\}\)

定义7：域，\(fld~R=∪\{dom~R,ran~R\}\)

定理9：若\(<x,y>∈R\)，则\(x,y∈∪∪R\)

定理10：\(dom~R,ran~R,fld~R\)都是集合

定理11：\(fld~R=∪∪R\)

定义8：常常将\(<x,y>∈R\)简记为\(xRy\)或\(R(x,y)\)，将\(<x,y>∉R\)简记为\(x \not R y\)或\(\not R(x,y)\)

定义9：关系复合运算，\(R1~。R2=\{<x,y>~|~∃z(xR2z~∧~zR1y)\}\)

定理12：结合律，\((R1~。R2)~。R3=R1~。(R2~。R3)\)

定义10：关系逆运算，\(R^{-1}=\{<y,x>~|~xRy\}\)

定理13：\(domR^{-1}=ranR\)

\(ranR^{-1}=domR\)

\((R^{-1})^{-1}=R\)

\((R1~。R2)^{-1}=R2^{-1}~。R1^{-1}\)

定义11：限制运算，\(R↾C=\{<x,y>~|~xRy~∧~x∈C\}\)

象，已知关系R和类C，象\(R[C]=\{y~|~∃x∈CxRy\}\)

限制运算是限制x的定义域在C中有什么有序对，象是根据限制运算限制后的有序对得到其x是定义域的子集

即已知关系R和类C有\(∪\{R[C],C\}=∪∪R↾C\)

显然上述新定义的运算在集合关系、类关系上也具有封闭性

函数

函数是特殊的类关系

定义12：满足单值性\(∀x∀y1∀y2(xRy1~∧~xRy2→y1=y2)\)的类关系\(R\)称为类函数（所谓单值性就是同一x值只能对应唯一的y值）

常用\(f(x)=y\)表示，用\(f\)表示函数（关系）

函数的某一点用有序对表示\(<x,f(x)>∈f\)

函数简记为\(f:C_1→C_2\)（即\(f⊆C_1×C_2\)且满足单值性），其中\(dom~f=C_1,ran~f⊆C_2\)

严格意义来说，\(dom~f≠C_1\)是有可能的，但狭义上的函数一般默认了\(dom~f=C_1\)这种情况（结合单值性即满足性质\(∀x∈C_1∃!y(xRy)\)），而\(ran~f\)一般认为是有可能不等于\(C_2\)的，此时\(C_2\)称作上域

备注：一阶逻辑中\(∃!\)是指存在唯一，\(∃!P(x)\)可扩写为\(∃y∀x(P(x)←→x=y)\)

函数性质

结构上对一些函数提出了一些特殊性质

定义13：满射，若\(C2=ranf\)，则称该类函数是满射的。或用\(∀y∃x~f(x)=y\)表述

定义14：单射（内射），若类函数满足\(∀x∈C1~∀y∈C1~(x≠y→f(x)≠f(y))\)即不仅从x到y只有唯一的y对应，从y到x也只有唯一的x对应

定义15：双射，如果类函数同时是满射、单射，则称为类函数是双射的

定理14：类函数的逆至少要满足原函数是单射的，因为逆运算交换值域定义域后其也要满足单值性的要求。对于单射的类函数来说，其逆函数的定义域为\(ranf\)

逆运算交换了定义域和值域看上去不需要写明这条性质，但稍有区别

假设有一类函数\(f:C1→C2,domf=C1,ranf⊆C2\)

那么此时\(f^{-1}:ranf→C1,domf^{-1}=ranf,ranf^{-1}=C1\)

关键在于交换后，原本的值域会从\(C2\)约束到\(ranf\)

因为上域被约束不会满足性质\((f^{-1})^{-1}=f\)

\((f^{-1})^{-1}:C1→ranf,dom(f^{-1})^{-1}=domf,ran(f^{-1})^{-1}=ranf\)

因此有些教材会说逆函数存在的充要条件就是函数必须是双射的，但实际上不用满足满射也是可以的，但这样会损失这样的性质

定理15：如果类函数是双射的，那么逆函数也是双射的且满足\((f^{-1})^{-1}=f\)

定理16：若类函数是单射的，则\(x∈domf,f^{-1}(f(x))=x\)；若\(y∈ranf,f(f^{-1}(y))=y\)

定理17 ：已知类函数\(f:C1→C2,g:C2'→C3\)（\(C2'⊆C2\)）

\(f~。g:C1→C3,dom(f~。g)=\{x~|~x∈domg~∧~g(x)∈domf\}\)

定理18：类函数是双射的，则其逆函数也是双射的

定理19：将定理17的\(g\)改写为\(f^{-1}\)即可得到\(dom(f。f^{-1})=domf\)；\((f。f^{-1})(x)=x\)

定义16：恒等函数，根据上一定理得到的称作恒等函数一般记作

\(I_c:C→C,I_c(x)=x\)

定义17：若\(g~。f=I_c\)，则\(f,g\)互逆，其中\(g\)在左侧称为\(f\)的左逆，\(f\)称为\(g\)的右逆，其中要满足\(f≠Ø,g≠Ø\)

定理20：已知类函数\(F≠Ø\)，存在左逆当且仅当\(F\)为单射

证明：

对于存在性问题一般证明方法为反证

即假设有一恒等函数\(I_C:C→C\)

有左逆使得\(g。f=I_C\)

显然\(f\)为空集是不成立的

若\(f\)不为单射，即\(∃x∃y(x≠y∧f(x)=f(y))\)

显然\(g\)不能为函数除非是关系

因此可证

单值化原则

单值化原则：对于任意的类关系\(R\)，存在类函数\(G\)使得\(G⊆R\)且\(domG=domR\)

定理21：已知类函数\(F≠Ø\)，存在右逆当且仅当\(F\)为满射

充分性证明：

条件：存在右逆\(G\)，满足\(F~。G=I_c\)

要证明满射即证明\(ranF=C\)

假设\(G:C_1→C_2,F:C_{2'}→C_1\)

因为是恒等函数，得\(∀x,x=F(G(x))\)，即\(x∈C_1→x∈ranF\)即\(C_1⊆ranF\)

\(ranF⊆C\)是作为函数本身具有的性质

因为得\(ranF=C\)

替换原则

定理22：\(R\)为类关系，若\(domR,ranR\)为集合，则\(R\)为集合关系

原则：若\(F\)为类函数，\(S\)为集合，则\(ran(F↾S)\)为集合

定理23：交并补运算于类上具有封闭性

定理24：\((1)∩Ø=V~~~(2)∩V=Ø\)

定理25：\(S_1⊆S_2→∩S_2⊆∩S_1\)

定理25阐释了交运算的特征即集合越小交运算后反而是越大的，对于定理24中对空集交实质上是有争议的。如果仅停留在集合视角实际上无法解释\(∩Ø\)为什么，但如果在类视角下就能解释其无规定性恰好为\(V\)

定理26：集合对于交补笛卡尔积运算是封闭性的，如果上升到类其中并交补笛卡尔积是封闭性的，但是对于无序对、幂运算并不是封闭的（如\(\{V\}\)）

存在极小元原则

定义18：极小元，已知\(S≠Ø\)，\(∃x∈S(S∩x=Ø)\)则称\(x\)为\(S\)的极小元

备注，值得注意的是这里以及下面所说的概念虽然名字同图论一样，但这里是关于集合最本质的“∈”关系而非图论任意“R”关系的定义。极小元开始包括之后内容，基本是围绕集合的属于关系、集合运算或是更抽象的角度做的一些性质上的探索。

原则：任意非空集合存在极小元

解释：极小元的性质表明了元素本身作为集合与集合的关系，即集合内有集合与其本身没有共同部分。这也常常作为证明类为集合的反证方法

不存在奇异集合

奇异集合是非常特殊的一个集合，有元素\(x_0,x_1,...\)，满足下面之中的某一性质：

(1)\(x∈x\)

(2)\(x∈y,y∈x\)

(3)推广：\(x_0∈x_1~∧~x_1∈x_2...∧~x_{n-1}∈x_n~∧~x_n∈x_0\)

(4)降链：\(...∧~x_{n+1}∈x_n~∧~x_n∈x_{n-1}...∧x_1∈x_0\)

即奇异集合在有限的情况下，各个元素互相挨个属于形成闭环；在无限的情况下形成降链，无穷远的元素不断属于前面一个直到\(x_0\)

利用存在极小元原则反证即可

证明(1)：假设集合满足性质\(x∈x\)，\(∵x∩x≠Ø\)，因此不存在极小元，但根据存在极小元原则，至少要有极小元因此矛盾，不存在集合满足\(x∈x\)

证明(3)：假设集合\(A\)满足性质\(x_0∈x_1~∧~x_1∈x_2...∧~x_{n-1}∈x_n~∧~x_n∈x_0\)

\(∵∀i∃j,x_i∈x_j\)

\(∴∀i~~~A~∩~x_i≠Ø\)

同理也可以证明降链的情况，因此不存在满足这一性质的奇异集合

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参考书籍

《公理集合论导引》张锦文