霍夫丁不等式
\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)为独立随机变量，且\(X_i \in [a,b]\),随机变量的经验均值可表示为：
\[\overline{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n}
\]
霍夫丁不等式叙述如下：
\[(1)\forall t >0, P(\overline{X}-E(\overline{X}) \geqslant t) \leqslant exp(-\frac{2n^2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
\[(2)\forall t >0, P(E(\overline{X})-\overline{X} \geqslant t) \leqslant exp(-\frac{2n^2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
\[(3)\forall t >0, P(|\overline{X}-E(\overline{X})| \geqslant t) \leqslant 2exp(-\frac{2n^2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
令\(S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n\)
\[(4)\forall t >0, P(S_n-E(S_n) \geqslant t) \leqslant exp(-\frac{2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
\[(5)\forall t >0, P(E(S_n)-S_n \geqslant t) \leqslant exp(-\frac{2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
\[(6)\forall t >0, P(|S_n-E(S_n)| \geqslant t) \leqslant 2exp(-\frac{2t^2}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2})
\]
