OI 学习总结 part3

8/15 思维题周考总结

100+100+100+100+0+0。

T5

考虑了递减就平均一下，但不全面，需要用单调栈。

T6

我考虑过吧最小的放第一个，但直觉告诉我是错的，结果我的直觉错了。

8/14 DP 状态设计

状态的常见类型

1.位置型状态

\(dp_i\) 表示前 \(i\) 个的答案。

\(dp_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 的答案。

\(dp_u\) 表示以 \(u\) 为根的子树的答案。

等等。

2.资源型状态

\(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个，用了 \(j\) 次操作的答案。

等等。

3.历史等价类状态

如果一个状态转移，需要记录很多之前的选择，那就考虑之前的一些选择是否对当前的转移等价，不记录这些选择，否则一定记录差异。在一些题目下可以降维。

4.关系型状态

记录状态之间的关系而不是状态本身。例如把具体数列转成相对顺序，

dp 设计状态常用流程

先写出暴力转移，然后看能不能优化掉哪一维。接着考虑状态转移方程，最后在考虑优化转移。

降维技巧

代数降维

直接计算出某个维度。

可行性 dp 降维

可行性 dp 只记录零或一，可以把记录的改成某一维，并且保证只需要用到记录的。如记录最大值/最小值，转移时也只需用到最大值/最小值。

排序

在二位偏序上排序消掉一维偏序。适用于一些其他的非二维偏序问题。也就是把某一维变得有单调性。

例题

abc238f

对第一维排序，正常 dp。

P1006 [NOIP 2008 提高组 ] 传纸条

首先注意到回来跟过去是等价的，把问题转成过去两次，然后四维 dp。发现第一次过去时的 \(i,j\) 和第二次过去时的 \(k,l\) 加起来相等，直接算出 \(l\)，降成三维。当然直接四维是可以做的。

dp_t 变式

注意到每个 \(<\) 肯定要除以相同的数，和前面没啥关系，可以 dp。

8/13 扫描线、二位数点测试总结

T1

0.1秒看出正解，30min打完，调了30min，失败，线段树区间合并还不是很熟悉，有待加强。

T2

没想出来。观察力有待加强。

8/12 扫描线练习 2

Gym-102979C Colorful Squares

先二分答案 \(s\) 转判定性问题。考虑扫描线，对于大小为 \(s\) 的正方形，先把 \(x = x_0\) 的所有点加入集合，再在 \(x = x_0 + s + 1\) 的时候把 \(x = x_0\) 加入的点从集合中删除。那么现在就是判断集合中是否存在一个 \(y\)，使得 \([y - s, y]\) 里面有所有的 \(k\) 种颜色。

设有一个数据结构，其每个点 \(i\) 维护 \([i - s, i]\) 的颜色种类数，假设我们加入点为 \(y_0\)，那么它会增加该数据结构中的 \([y_0, y_0 + s]\) 中所有点维护区间的颜色种类数，该操作即区间 \(+1\)，不过，可能这其中已经有些点包含了该点的颜色 \(c_0\)，故而，我们还需要对于每个颜色开一个 multiset 维护该颜色所有的位置，插入 \(y_0\) 时，找到前驱和后继 \(y_1, y_2\)，那么我们最终修改的区间就是

\[\max \{ y_1 + s + 1, y_0 \}, \min \{ y_2 - 1, y_0 + s \} \]

最后统计时，只需查看是否存在某个位置维护的值为 \(k\) 即可，这和区间最大值差不多。撤销操作，其实就是区间减 1。

关于数据结构的选择，显然我们可以使用线段树做到。时间复杂度 \(O(n \log x \log a)\)。

[ARC201E] Total Area of Bounding Boxes

考虑对于一个 \(a_i\)，它作为 \(min_y\) 了多少次。设比 \(a_i\) 高的点的个数为 \(s\)，此时次数即为 \(2^s\)。\(max\) 等同理。

8/11 扫描线练习

P9478

横线竖线就是扫描线板子，斜线直接暴力判跟每条线是否相交，然后把所有交点记录进 set 里看有多少个就行了。

ABC211F

难点在于入边出边的处理。对于每个多边形，首先找到最靠进 y 轴的边，从这条边开始，按输入顺序，一定是入边、出边、入边、出边……。此题就成了板子。

ABC360F

把 \((l_a,r_a)\) 看成一个点，题目中的条件即为：\(l_b \in[l_a+1,r_a-1]\)， \(r_b \in[r_a+1,+\infty ) l_b \in[0,l_a-1] ， r_b \in[l_a+1,r_a-1]\)，也就是矩形加。求的就是哪个点被包含了最多次。

注意线段树要维护覆盖次数、最大覆盖次数、最大覆盖次数的最小位置。

8/10 二维数点进阶

常见二维数点

基本二维数点

二位数点基本：给定 \(n\) 个二维平面上的点和 \(m\) 条询问，每次询问一个矩形内有多少个点。

对于每个询问，把矩形 \([x_1,y_1][x_2,y_2]\) 拆成 \([0,x_1][0,y_1]-[0,x_2-1][0,y_1]-[0,x_1][0,y_2-1]+[0,x_2-1][0,y_2-1]\)。这样每一个拆出来的部分就好维护。从下往上扫，每扫到一个点加进树状数组，每扫到一个拆出来的询问就统计答案（需要离线）。

如果是区间修改单点查询，就把修改改成差分，和查询一起扫即可。

如果强制在线，把树状数组改成可持久化线段树，先扫一遍记录历史版本，对于每个询问查询对应的历史版本即可。

二维数点求最大最小值

如果二维数点求的信息不满足可见性（例如 max、min）就需要更换方法。

如果查询形如 \(x_i \le X, y_i \le Y\) ，那么直接套用问题 \(1\) 的做法。

如果只有一个维度查的前缀，使用线段树。

否则只能树套树或整体二分，遇到这种情况要么是问题转化错了，要么是题太难了。

动态二维数点

加入时间轴，使用线段树分治或 CDQ 分治解决。

矩阵加，矩阵查，强制在线

注意这里是先全部加完再强制在线查。

其实就是二维树状数组区间查区间修的思想，但是空间开不下，所以要用到二维主席树（动态开点）。

例题：bzoj 2874

拓展：二维数点，但不一定是矩形

练习题

ABC233Ex

第 \(k\) 大/小经典套路：二分答案

二分答案曼哈顿距离，如果距离 \(x,y\) 小于当前的 \(mid\) 的个数 \(<k\)，就扩大，否则缩小。

但是我们发现，距离 \(x,y\) 固定曼哈顿距离的矩形是斜 \(45\) 度的，无法直接二维数点。这需要一个trick，把每个点 \((x_i,y_i)\) 改成 \((x_i+y_i,x_i-y_i)\)，此时整个点集就旋转了 \(45\) 度，然后就可以二维数点。

洛谷 P10281

首先推出什么情况下满足题目条件。推出来是 \(l_j<=r_i-k_i\) 且 \(rj>=k_i+l_i\) 且 \(r_j-l_j>=k_i\)。

此时无脑 CDQ 可以解决，但是有更优的二维数点做法。

对 \(min(r_i,r_j)>=ki+max(l_i,l_j)\) 分类讨论。

情况 1 ： \(r_j\ge r_i,l_j\le r_i-k_i\)
情况 2 ： \(r_j\ge l_i+k_i,r_j<r_i,r_j-l_j\ge k_i\)

分别维护两个二维偏序即可。

洛谷 P13094

这种区间求满足条件的有一个套路：预处理出每个元素能作用到的最远的左右端点。

如果预处理出每个点往左往右最长可以拓展到的位置 \(l——i,r_i\) ，即在
[l_i,r_i] 内没有点两个维度都 >= 自己，问题就被转化成了矩形 \([l_i,i][i,r_i]+1\)，查询 \((L,R)\) 单点。

预处理部分，先看 \(l_i\)。需满足 \(x_j\ge x_i,y_j\ge y_i,j<i\)，并且 \(j\) 最大。直接三维偏序是双 \(\log\)，但是我们其实只用求最大的 \(j\)，所以把 \(y_i\)插入线段树 \(i\) 的位置，线段树维护区间 \(max\) ，线段树上二分就可以找到 \(j<i\) 且 \(y_j\ge y_i\) 的最大的 \(j\) 了。时间降了个 \(log\)。