前缀和优化 DP

常见的 DP 优化：

优化状态：重新设计状态来减少时间/空间/代码复杂度，如状压 DP。

优化转移：用特定的方法来转移，使转移更快。

例题

力扣1871 跳跃游戏 (Gala Game)

设 \(dp[i]\) 为可否跳到 \(i\) 点。

转移：

\[dp[i]=\sum_{j=\max(0,i-maxJump)}^{\max(0,i-minJump)}dp[j]>0 \]

直接扫一遍的话，时间复杂度为 \(O(n^2)\)，会炸。

注意到没有修改，且求 \(dp[i]\) 所需要的 \(dp[j]\) 是连续的，那么不难想到前缀和。

时间复杂度降为 \(O(n)\) 可过。

这里就有了一个 DP 优化的流程：先打出暴力转移，然后看转移可以被什么方法优化。

一定要注意边界问题！用下标从零开始，特判一下 \(l\) 是否为 0，是就取 0，不是就取 sum[l-1]。这样方便又好调。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1000005],pre[1000005];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int L,R;
	string s;
	cin>>L>>R>>s;
	int n=s.size();
	dp[0]=1;
	for(int i=0;i<L;i++) pre[i]=1;
	for(int i=L;i<n;i++){
		int l=i-R,r=i-L;
		if(s[i]=='0') dp[i]=(pre[r]-(l<=0?0:pre[l-1])!=0);
		pre[i]=pre[i-1]+dp[i];
	}
	if(dp[n-1]) cout<<"Yes";
	else cout<<"No";
	return 0;
}

P2513 [HAOI2009] 逆序对数列

\(dp[i,j]\) 表示插入了前 \(i\) 个数，产生的逆序对为 \(j\) 的排列的方案数。

转移比较显然：

\[dp[i][j] = \sum_{k=0}^{\min(j, i-1)} dp[i-1][j-k] \]

复杂度 \(O(n^2 k)\) 会炸。

发现这个转移式子就是上一行连续的一段，考虑前缀和优化。

定义前缀和数组：\(sum\)

\[sum[j] = \sum_{x=0}^{j} dp[i-1][x] \]

转移变为：

\[dp[i][j] = sum[j] - sum[j-i] \]

时间复杂度降为 \(O(nk)\) 可过。

还是那个思想：先写暴力转移，然后观察可以被什么方法优化。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int dp[5005][5005];
int sum[5005];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	dp[1][0]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		sum[0]=dp[i-1][0];
		for(int j=1;j<=k;j++) sum[j]=(sum[j-1]+dp[i-1][j])%mod;
		for(int j=0;j<=k;j++){
			if(j<i) dp[i][j]=(sum[j]+mod)%mod;
			else dp[i][j]=(sum[j]-sum[j-i]+mod)%mod;
		}
	}
	cout<<dp[n][k];
	return 0;
}

练习题：AT_dp_m Candies

P1107 [BJWC2008] 雷涛的小猫

牛客33634G 小人国的粉刷匠

ABC253E Distance Sequence

一定注意转移时的范围！极为容易因为小细节炸掉！