2/3树的直径等内容 学习总结

树的直径值树中最长的简单路径，一般用两次dfs和树形dp求，是数据结构中常见常考的重点之一。

两次dfs求树的直径

求法

从任意点dfs一次，找到距离该点最远的点，记为点 \(s\)。

从 \(s\) 出发再dfs一次，找到距离最远的点，记为点 \(t\)。

\(s\) 到 \(t\) 的简单路径一定是树的直径之一。

证明

如上图

根据定义，不存在 \(u\) 使得 \(|u\rightarrow s|>|t\rightarrow s|\)

如果存在节点 \(u\)，使得 \(|u\rightarrow t|>|s\rightarrow t|\)

那么 \(|n\rightarrow u|>|n\rightarrow s|\)，故 \(|1\rightarrow u|>|1\rightarrow s|\)

第一次搜索就会搜到 \(u\) 而不是 \(s\)。

故假设矛盾，所以不存在任何一点，到 \(s\) 或者 到 \(t\) 的距离，比 \(|s\rightarrow t|\) 更远 。

证毕

注意事项

1.必须全是非负权边

\(\mathscr{A\rightarrow^{10}B\rightarrow^{-1000}C\rightarrow^{1000}D}\)

如果搜索的起点选择了 \(\mathscr{D}\)，可以求出直径。但是如果选择了 \(\mathscr{B}\)，则求不出直径。

代码

1.有多个dfs/bfs时，函数名不能是其他函数名的前缀，变量名同理。

$\surd$

void dfs1(...)

void dfs2(...)

$\times$(打错了就很难调）

void dfs(...)

void dfs2(...)

AC code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int d1[100005],d2[100005];
vector<int> g[100005];
void dfs1(int x,int fa){
	for(auto y:g[x]){
		if(y==fa) continue;
		d1[y]=d1[x]+1;
		dfs1(y,x);
	}
}
void dfs2(int x,int fa){
	for(auto y:g[x]){
		if(y==fa) continue;
		d2[y]=d2[x]+1;
		dfs2(y,x);
	}
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	dfs1(1,0);
	int maxn=0,s=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d1[i]>=maxn){
			s=i;
			maxn=d1[i];
		}
	}
	dfs2(s,0);
	int maxm=0,t=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(d2[i]>=maxm){
			t=i;
			maxm=d2[i];
		}
	}
	cout<<d2[t];
	return 0;
}

树形dp求树的直径

求法

记录 \(d1[u]\) 为以 \(u\) 为根的子树中，从 \(u\) 出发向下的最长路径。

\(d2[u]\) 为以 \(u\) 为根的子树中，从 \(u\) 出发向下的次长路径。(\(\Large{不与最长路径重合！}\))

遍历时 \(u\) 的儿子 \(v\) 会贡献长度 \(len=d1[v]+w(u,v)\) 的路径，此时：

如果 \(len>d1[u]\)，说明找到了更长的路径，\(d2[u]=d1[u]\)，\(d1[u]=len\)。

否则如果 \(len>d2[u]\)，说明比次长的长，比最长的短，只需更新次长的。\(d2[u]=len\)。

答案：$$\max^{n}_{u=1}\lbrace d1[u]+d2[u]\rbrace$$

核心代码

inline void dfs(int u, int fa) {//当前的节点点, 当前节点的祖先
    for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt) {//链式前向星
        int v = e[i].to;
        if(v == fa) continue;//防止向上走, 这是个常用的小技巧, 不需要记录vis数组
        dfs(v, u);//后序遍历

        if(dp[u][0] < dp[v][0] + 1) { dp[u][1] = dp[u][0]; dp[u][0] = dp[v][0] + 1; }//dp[u][1]得到了除了v以外的最大值 + 1
        else if(dp[u][1] < dp[v][0] + 1) dp[u][1] = dp[v][0] + 1;//确保dp[u][0]没有被更新
        res = max(res, dp[u][0] + dp[u][1]);//更新答案
    }
}

几个定理

Kőnig 定理

二分图的最小点覆盖数 \(=\) 二分图的最大匹配数

证明没讲

Gallai 恒等式：

\(∣\large{最小点覆盖}∣+∣\large{最大独立集}∣=∣V|\)

为什么？跟定义有关。

如果你选出了一个点覆盖集合 \(S\)，那么剩下的所有点之间 \(V∖S\) 之间
一定没有任何边相连（如果有边相连，那条边就没有被 \(S\) 中的点覆盖，这与 \(S\) 是点覆盖矛
盾）。因此，\(V∖S\) 是一个独立集。

所以，如果一个很难求，可以求另一个简单点的来推出难求的。

收获

• 学习了树的直径的两种求法

• 学习了两个定理