向量点积定义的证明

设两个向量$\mathbf{a} = \overrightarrow{OA} = (x_1, y_1), \mathbf{b} = \overrightarrow{OB} = (x_2, y_2)$,两向量夹角为$\theta$,向量点积的定义如下:

$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

第一部分可以通过解析几何理解,即一个向量向另一个向量做投影。然而第二部分的定义有什么意义?关键问题是,为什么$ |\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$?下面就对这个问题进行证明。

\begin{align} \because \overrightarrow{OA} &= \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BA} \\ \therefore \overrightarrow{BA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2) \end{align}

在$\triangle{OAB}$中,根据余弦定理:$| \overrightarrow{BA} |^2 = |\overrightarrow{OA}|^2 + |\overrightarrow{OB}|^2 - 2 |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta}$,并且$|\overrightarrow{BA}|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$,$|\overrightarrow{OA}|^2 = x_1^2 + y_1^2$,$|\overrightarrow{OB}|^2 = x_2^2 + y_2^2$,所以$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = ( x_1^2 + y_1^2) + ( x_2^2 + y_2^2) - 2 |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta}$,因此便有:

$$|\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

即:

$$|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}| \cos{\theta} = x_1 x_2 + y_1 y_2$$

参考内容:http://mail.smhs.kh.edu.tw/~tch044/vector/sub-2.htm

 

顺便提一下:在MathJax中要想显示粗体的希腊字母,如$\boldsymbol{\alpha}$,应该用\boldsymbol{}这个宏,其他的像\mathbf,\bf,\bm等等均无法做到,原因应该是MathJax只使用了AMSmath的宏包。

posted @ 2015-06-09 17:48  俞夕  阅读(5115)  评论(0编辑  收藏  举报