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[数学基础] 7 欧拉函数

欧拉函数

非常有用的欧拉函数!嗯……好像应该放在四大定理前讲的来着QAQ

1. 欧拉函数的定义

  • 定义φ(N)1~N中与N互质的数,假设N可以表达为p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\forall i\in [1,k], p_i为质数,a_i>0

    \varphi(N)=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})

特别的,规定\varphi(1)=1。(唯一和1互质的数就是1本身)

证明:容斥原理

  1. 先去掉1~N中p_1的倍数,再去掉1~N中p_2的倍数,……直到去掉1~N中p_k的倍数。那么,此时答案就是

    N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}

  2. 这个答案,将p_i\times p_j, (i,j\in[1,k], i\neq j)重复减去了多次,需要把它们加回来

    N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k}

  3. 考虑这样的三元组p_ap_bp_c,它们先是被1中的式子p_a,p_b,p_c减去了三次,又在2中的式子p_ap_b,p_ap_c,p_bp_c中加了三次,总体没加也没减。因此要把三元组的倍数从N中减去

    N-\frac{N}{p_1}-\frac{N}{p_2}-...-\frac{N}{p_k}+\frac{N}{p_1p_2}+\frac{N}{p_1p_3}+...+\frac{N}{p_{k-1}p_k}-\frac{N}{p_1p_2p_3}-...-\frac{N}{p_{k-2}p_{k-1}p_{k}}

  4. 以此类推,最终化简上面的式子,可得

    N\times(1-\frac{1}{p_1}-...-\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_1p_2}+...+\frac{1}{p_{k-1}p_k}-...)\\=N\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})

  • 时间复杂度:欧拉函数时间复杂度最大的地方在于分解质因数,因此时间复杂度为O(\sqrt N)

欧拉函数模板

int phi(int x){
    int res = x;
    for (int i=2;(ll)i*i<=x;++i){
        if (x % i == 0){
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}

2. 欧拉函数的性质

性质1
  • \sum a=\frac{n\times \varphi(n)}{2}, n>1, a\in[1,n),(a,n)=1
性质2
  • \forall n>2,\varphi(n)为偶数。

证明:\because (n,x)=(n,n-x), n>x

假设\exist x\in[1,n)(n,x)=(n,n-x)=1,x=n-x, n>2,则n=2x,矛盾。

\therefore[1,n)中与n互质的数均是成对出现的,因此[1,n)n互质的数是偶数,即\varphi(n)为偶数。

观察(n,x)=(n,n-x)=1,也说明了任意一对与n互质的数,相加均为n,所以有\sum a = \frac{n\times\varphi(n)}{2}

性质3
  • \sum\limits _{d|n} \varphi(d)=n

f(n)=\varphi * I=\sum\limits _{d|n}\varphi(d),则f(n)为一个积性函数。

n唯一分解为n= \prod_{i=1}^kp_i^{a_i} = p_1^{a_1}p_2^{a_2}..p_k^{a_k},则

f(p_i^{a_i})=\varphi(1)+\varphi(p_i)+..+\varphi(p_i^{a_k})\\=1+(p-1)+..+(p^k-p^{k-1})=p^k

f(n)=f(p_1^{a_1})\times f(p_2^{a_2})\times ..\times f(p_k^{a_k})=\prod_{i=1}^kp_i^{a_i}=n,证毕。

性质4
  • 欧拉函数为积性函数,但不是完全积性函数,当(n,m)=1时,满足\varphi(m\times n)=\varphi(m)\times \varphi(n)。那么显然,当n唯一分解后,\varphi(n)=\prod_{i=1}^k\varphi(p_i^{a_i})

证明:若(n,m)=1,则n,m没有相同的质因子,记n的质因子个数为c_1m的质因子个数为c_2,则

\varphi(n)\times \varphi(m)=n\times m\times \prod_{i=1}^{c_1}(1-\frac 1 {p_i})\times \prod_{i=1}^{c_2}(1-\frac 1 {p_i})=\prod_{i=1}^{c_1+c2}(1-\frac 1 {p_i})=\varphi(n\times m)

例题:cf776E The Holmes Children

性质5
  • \frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}

写成狄利克雷卷积的形式

\varphi * I=id\varphi * I * \mu=id * \mu

\varphi * (I * \mu)=id * \mu

\varphi*e=id*\mu

\varphi(n)=\sum\limits _{d|n}\frac n d\times \mu(d),也就是\frac {\varphi(n)} n=\sum\limits_{d\mid n}\frac{\mu(d)}{d}

性质6

n=p^k时,\varphi(n)=p^k-p^{k-1}

证明:当n只有一个质因数时,\varphi(n)=p^k\times(1-\frac 1 p)=p^k-p^{k-1}

3. 筛法求欧拉函数

假设目前已知\varphi(i)的值,p_j为某一质数,求\varphi(i\times p_j)的值。

i表示为p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\varphi(i)=i\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})

  1. i\%p_j==0时,i\times p_j中不存在新的质因子

    \therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})=\varphi(i)\times p_j

  2. i\%p_j\neq 0时,p_j为新的质因子

    \begin{align} & \therefore \varphi(i\times p_j)=i\times p_j\times (1-\frac{1}{p_1})\times(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_k})\times (1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times p_j\times(1-\frac{1}{p_j})\\ & =\varphi(i)\times(p_j-1) \end{align}

  • 代码
int n, cnt;
const int N = 1e6 + 10;
int E[N], p[N];
bool st[N];

void Eulers(){
    E[1] = 1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        if (!st[i]){
            p[++cnt] = i;
            E[i] = i - 1;
        }
        for (int j=1;p[j]<=n/i;++j){
            int t = p[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % p[j] == 0){
                E[t] = E[i] * p[j];
                break;
            }
            E[t] = E[i] * (p[j] - 1);
        }
    }
}
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