[数学基础] 5 快速幂和同余的基本概念
这是为6的铺垫（可以这么说嘛QAQ），于是就把最后的简单小知识扔在了这里。
恭喜你看到这里！在下一节，我就要开始胡扯初等数论的四大定理了，而在这之前，我认为能够熟练掌握快速幂，以及了解同余的一些基本概念是比较重要的。因为，网络上很多公式的推导都用了一些（我一开始）很难懂的符号，而且数学素养高超的网友有时也会跳过一些步骤，或者有一些错漏之处，因此，大概的了解一些基础知识很重要。而我只是简单的介绍一些经常出现的概念，如果想要详细了解，可以买陈景润的《初等数论》，真的是非常好的书，面向中学生和社会上的数学爱好者编著，因此也较为好懂。
快速幂
不会吧不会吧不会真的要我介绍快速幂吧QAQ，不知道从何说起所以俺润辣（
1. 定义
// 求a^b % p 时间复杂度O(logN)
ll qmi(ll a, ll b, ll p){
ll res = 1LL % p;
while (b){
if (b & 1) res = res * a % p;
a = a * a % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
2. 快速幂求逆元
乘法逆元的定义
若对于整数\(b,m\)，有\((b,m)=1\)（即\(b,m\)互质），并且对于任意的整数\(a\)，如果满足\(b|a\)，则\(\exist x\in N\)，\(s.t.~~\frac{a}{b}=a\times x(mod~ m)\)，则称\(x\)为\(b\)的模\(m\)乘法逆元，记为\(b^{-1}(mod~m)\)。
-
\(b\)存在乘法逆元的充要条件是\((b,m)=1\)，当\(m\)为质数时，\(b\)的乘法逆元为\(b^{m-2}\)。
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小性质
\(\frac{a}{b} \equiv a\times x(mod ~m)\) \(\frac{a}{b} \equiv a\times b^{-1}(mod ~m)\)
则\(a\equiv a\times b \times b^{-1}(mod ~m)\) 即 \(b\times b^{-1} \equiv 1(mod ~m)\)
-
费马小定理
\(\forall p\)为质数，\(a\)为任意整数，有$ a^{p-1}\equiv 1(mod ~p)$
小推论：\(b\times b^{p-2}\equiv 1(mod~p)\)，因此\(b\)的乘法逆元为\(b^{p-2}\)
同余
1. 定义
如果\(a,b\in\Z\)，而\(m\)是一个固定的正整数，则当\(m|(a-b)\)时，我们就说\(a,b\)对模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(\mod m)\)，当\(m\)不能整除\(a-b\)时，我们就说\(a,b\)对模\(m\)不同余，记作\(a \not\equiv b(\mod m)\)。
2. 运算法则
3. 基本概念
(1) 剩余类 完全剩余系 和 简化剩余系
- 剩余类：也叫同余类，设模为\(n\)，则根据余数可将所有的整数分为\(n\)类，把所有和整数\(a\)模\(n\)同余的整数构成的集合叫做模\(n\)的一个剩余类，记作\([a]\)，并把\(a\)叫做剩余类\([a]\)的一个代表元。
- 完全剩余系：从模\(n\)的每个剩余类中各取一个数，得到一个由\(n\)个数组成的集合，叫做模\(n\)的一个完全剩余系。最常用的完全剩余系是\(\{0,1,...,n-1\}\)。
- 简化剩余系：也称既约剩余系或缩系，是\(n\)的完全剩余系中与\(n\)互质的数构成的子集。如果模\(n\)的一个剩余类里所有数都与\(n\)互质，就把它叫做与模\(n\)互质的剩余类。在与模\(n\)互质的全体剩余类中，从每个类中各任取一个数作为代表组成的集合，叫做模\(n\)的一个简化剩余系。
4. 常用小定理
- 定理1：如果\(a,b,c\)是任意三个整数，\(m\)是一个正整数且\((m,c)=1\)，则当\(ac\equiv bc(\mod m)\)时，有\(a\equiv b(\mod m)\)。
证明：由于\(c(a-b)=ac-bc=mq\)，其中\(q\in \Z\)，\((m,c)=1\)。我们有\(a-b=m\frac{q}{c}=mq_1\)。
- 定理2：满足\(a^{x}\equiv 1(\mod m)\)的最小正整数\(x\)，一定是\(\varphi(m)\)的约数，即\(x|\varphi(m)\)。
反证法。假设\(x\not\mid \varphi(m),\varphi(m)=qx+r, r\in(0,x)\)。
则有\(a^{qx}\equiv 1^q(\mod m)\)，\(a^{qx+r}\equiv 1(\mod m)\)
\(a^r\equiv 1(\mod m)\)，\(r<x\)，又\(x\)是满足同余式的最小正整数，矛盾。得证。
- 定理3：\(\exist x>0\)，使得\(a^x\equiv 1(\mod m)\)成立，它的充分必要条件为\((a,m)=1\)。
必要性：即欧拉定理\(a^{\varphi(m)}\equiv 1(\mod m)\)的证明；
充分性：（反证法）若\(a^x\equiv 1(\mod m),x>0\)，则\(a^x+k\times m=1\)，若\((a,m)=w>1\)，则\(a^x+k\times m=w\times\frac{a^x+k\times m}{w}\geq w>1\)。矛盾，得证。
